Nie potrafię dokończyć indukcji + nie rozumiem następnego polecenia Doktora

[damian28102000]

Cześć! Nie potrafię dokończyć indukcji + nie rozumiem następnego polecenia Doktora.

Wykaż, że dla każdego naturalnego n:
\(4^{n+2}+5^{2n+1}\) jest podzielne przez 21
dla n = 1 nie jest podzielne
dla n = 2 jest podzielne

Sprawdzam dla n +2 (uważam, że nie mogę + 1, ponieważ wtedy nie jest podzielne - nie wiem, czy dobrze myślę)
\(4^{n+4}+5^{2n+4+1}\)
\(4^n*4^4+5^{(2n+1)+4}\)
\(4^n*4^4+5^{2n+1}*5^4\)
i teraz nie wiem co mam zrobić, widziałem w internecie podobne przykłady, w nich ludzie próbowali wyciągnąć przed nawias aby otrzymać nawias z zawartością "?początkową?" - czyli (\(4^{n+2}+5^{2n+1}\))

Poza tym nie rozumiem następnego polecenia, które brzmiało coś w tym stylu "Zróbcie jeszcze 3c (czyli to zadanie) arytmetycznie", tutaj się już nie zacinam, a kompletnie nie wiem, od czego zacząć.

[panb]

Cześć! Nie potrafię dokończyć indukcji + nie rozumiem następnego polecenia Doktora.

Wykaż, że dla każdego naturalnego n:
\(4^{n+2}+5^{2n+1}\) jest podzielne przez 21
dla n = 1 nie jest podzielne
dla n = 2 jest podzielne

Sprawdzam dla n +2 (uważam, że nie mogę + 1, ponieważ wtedy nie jest podzielne - nie wiem, czy dobrze myślę)
\(4^{n+4}+5^{2n+4+1}\)
\(4^n*4^4+5^{(2n+1)+4}\)
\(4^n*4^4+5^{2n+1}*5^4\)
i teraz nie wiem co mam zrobić, widziałem w internecie podobne przykłady, w nich ludzie próbowali wyciągnąć przed nawias aby otrzymać nawias z zawartością "?początkową?" - czyli (\(4^{n+2}+5^{2n+1}\))

Poza tym nie rozumiem następnego polecenia, które brzmiało coś w tym stylu "Zróbcie jeszcze 3c (czyli to zadanie) arytmetycznie", tutaj się już nie zacinam, a kompletnie nie wiem, od czego zacząć.

Zakładamy, że jest prawdziwe do n, tzn: \(4^{n+2}+5^{2n+1}\) jest podzielne przez 21, czyli
\[4^{n+2}+5^{2n+1}=21k,\,\, k\in \nn \]
Powinniśmy wykazać, że \(4^{(n+1)+2}+5^{2(n+1)+1}=21m,\,\, m\in \nn \)

Dowód:
\(4^{(n+1)+2}+5^{2(n+1)+1}=4^{n+2}\cdot4+5^{2n+1}\cdot5^2=4^{n+2}\cdot4+5^{2n+1}\cdot4+21\cdot5^{2n+1}=\\=
4(4^{n+2}+5^{2n+1})+21 \cdot 5^{2n+1}\stackrel{Zał.}{=}4\cdot21k+21 \cdot 5^{2n+1}=21 \left( 4k+5^{2n+1}\right)=21m,\,\,\text{ gdzie } m=4k+5^{2n+1}\in\nn \)

Udowodniliśmy, że z prawdziwości twierdzenia do n wynika prawdziwość dla (n+1), więc na mocy .....

[Jerry]

Wykaż, że dla każdego naturalnego n:
\(4^{n+2}+5^{2n+1}\) jest podzielne przez 21
dla n = 1 nie jest podzielne

\(4^{1+2}+5^{2\cdot1+1}=64+125=189=21\cdot9\)

Pozdrawiam

[damian28102000]

Wykaż, że dla każdego naturalnego n:
\(4^{n+2}+5^{2n+1}\) jest podzielne przez 21
dla n = 1 nie jest podzielne

\(4^{1+2}+5^{2\cdot1+1}=64+125=189=21\cdot9\)

Pozdrawiam

WoW, dobrze a teraz załóżmy, że miałem rację i miałbym przypadek kiedy to dla n = 1 nie było podzielne przez 21, to co napisałem poniżej, że wtedy trzeba sprawdzać dla n + 2 to prawda?

Dziękuję!

[Jerry]

... teraz załóżmy, że miałem rację i miałbym przypadek kiedy to dla n = 1 nie było podzielne przez 21, to co napisałem poniżej, że wtedy trzeba sprawdzać dla n + 2 to prawda?

Nie! Sprawdzamy z krokiem \(1\), czyli dla \(n+1\)

Pozdrawiam
PS. Gdybyś miał rację, to teza nie byłaby prawdziwa dla \(n\in\nn\)

[damian28102000]

Cześć! Nie potrafię dokończyć indukcji + nie rozumiem następnego polecenia Doktora.

Wykaż, że dla każdego naturalnego n:
\(4^{n+2}+5^{2n+1}\) jest podzielne przez 21
dla n = 1 nie jest podzielne
dla n = 2 jest podzielne

Sprawdzam dla n +2 (uważam, że nie mogę + 1, ponieważ wtedy nie jest podzielne - nie wiem, czy dobrze myślę)
\(4^{n+4}+5^{2n+4+1}\)
\(4^n*4^4+5^{(2n+1)+4}\)
\(4^n*4^4+5^{2n+1}*5^4\)
i teraz nie wiem co mam zrobić, widziałem w internecie podobne przykłady, w nich ludzie próbowali wyciągnąć przed nawias aby otrzymać nawias z zawartością "?początkową?" - czyli (\(4^{n+2}+5^{2n+1}\))

Poza tym nie rozumiem następnego polecenia, które brzmiało coś w tym stylu "Zróbcie jeszcze 3c (czyli to zadanie) arytmetycznie", tutaj się już nie zacinam, a kompletnie nie wiem, od czego zacząć.

Zakładamy, że jest prawdziwe do n, tzn: \(4^{n+2}+5^{2n+1}\) jest podzielne przez 21, czyli
\[4^{n+2}+5^{2n+1}=21k,\,\, k\in \nn \]
Powinniśmy wykazać, że \(4^{(n+1)+2}+5^{2(n+1)+1}=21m,\,\, m\in \nn \)

Dowód:
\(4^{(n+1)+2}+5^{2(n+1)+1}=4^{n+2}\cdot4+5^{2n+1}\cdot5^2=4^{n+2}\cdot4+5^{2n+1}\cdot4+21\cdot5^{2n+1}=\\=
4(4^{n+2}+5^{2n+1})+21 \cdot 5^{2n+1}\stackrel{Zał.}{=}4\cdot21k+21 \cdot 5^{2n+1}=21 \left( 4k+5^{2n+1}\right)=21m,\,\,\text{ gdzie } m=4k+5^{2n+1}\in\nn \)

Udowodniliśmy, że z prawdziwości twierdzenia do n wynika prawdziwość dla (n+1), więc na mocy .....

DZIĘKUJĘ! Ale, możesz wyjaśnić, co tutaj zaszło?
\(=4^{n+2}\cdot4+5^{2n+1}\cdot5^2=4^{n+2}\cdot4+5^{2n+1}\cdot4+21\cdot5^{2n+1}=\)

Bo to wygląda jakby \(5^2\) zamieniło się w \(4+21\cdot5^{2n+1}=\)

Poza tym masz może pomysł, o co chodzi z drugim sposobem ciągiem arytmetycznym?

[damian28102000]

... teraz załóżmy, że miałem rację i miałbym przypadek kiedy to dla n = 1 nie było podzielne przez 21, to co napisałem poniżej, że wtedy trzeba sprawdzać dla n + 2 to prawda?

Nie! Sprawdzamy z krokiem \(1\), czyli dla \(n+1\)

Pozdrawiam
PS. Gdybyś miał rację, to teza nie byłaby prawdziwa dla \(n\in\nn\)

Ponownie dziękuję, a możesz mnie pokierować, o co mogło chodzić wykładowcy z tym "arytmetycznym ciągiem" do wykonania tego zadania. Bo dwie grupy "siedzą i patrzą się na siebie" (drugiej zadał geometrycznie)?

[janusz55]

Mamy udowodnić zdanie:

\( T(n): 21| 4^{n+2} + 5 ^{2n+1}, \ \ \forall n \in \nn \)

Sprawdzenie indukcyjne:

\( T(0): 21| 4^{0+2}+ 5^{2\cdot 0 +1} = 16 + 5 = 21 \)

\( 21|21 \) - prawda

Założenie indukcyjne:

\( T(k): 21| 4^{k+2} + 5^{2k+1} \)

Krok indukcyjny:

\( T(k) \rightarrow T(k+1) \)

\( 21|4^{k+2} +5^{2k+1} \rightarrow 21 |4^{k+3} + 5^{2k +3} \)

\(4^{k+3} + 5^{2k +3} = 4\cdot 4^{k+2} + 5^2\cdot 5^{2k+1} = 4\cdot 4^{k+2} + 25\cdot 5^{2k+1} = 4\cdot 4^{k+2}+ (4 +21)\cdot 5^{2k+1}= \)
\(= 4\cdot (4^{k+2} + 5^{2k+1}) + 21\cdot 5^{2k+1} = 4\cdot 21\cdot k + 21\cdot l = 21\cdot (4 k + l), \ \ k,\ \ l \in \nn. \)

Wykazaliśmy, że

\( 1) \) zdanie \( T(0) \) jest prawdziwe,

\( 2) \) dla każdej liczby naturalnej \( k \) z prawdziwości zdania \( T(k) \) wynika prawdziwość zdania \( T(k+1) \)

Wobec tego na podstawie zasady indukcji zupełnej, dla każdej liczby naturalnej \( n \) zdanie \( T(n) \) jest prawdziwe,

czyli dla każdej liczby naturalnej \( n \) suma potęg \( 4^{n+2} + 5^{2n +1} \) jest podzielna przez \( 21.\)

[panb]

DZIĘKUJĘ! Ale, możesz wyjaśnić, co tutaj zaszło?
\(=4^{n+2}\cdot4+5^{2n+1}\cdot5^2=4^{n+2}\cdot4+5^{2n+1}\cdot4+21\cdot5^{2n+1}=\)

Bo to wygląda jakby \(5^2\) zamieniło się w \(4+21\cdot5^{2n+1}=\)

Mogę wyjaśnić.
\(5^{2n+1}\cdot5^2=5^{2n+1}\cdot 25=5^{2n+1}\cdot(21+4)= ...\)
Już rozumiesz?

[damian28102000]

DZIĘKUJĘ! Ale, możesz wyjaśnić, co tutaj zaszło?
\(=4^{n+2}\cdot4+5^{2n+1}\cdot5^2=4^{n+2}\cdot4+5^{2n+1}\cdot4+21\cdot5^{2n+1}=\)

Bo to wygląda jakby \(5^2\) zamieniło się w \(4+21\cdot5^{2n+1}=\)

Mogę wyjaśnić.
\(5^{2n+1}\cdot5^2=5^{2n+1}\cdot 25=5^{2n+1}\cdot(21+4)= ...\)
Już rozumiesz?

Tak, Dziękuję <3