Wykaż, że dla każdego naturalnego n... - pogubiłem się

[damian28102000]

Cześć! Mam problem z zadaniem:
Wykaż, że dla każdego naturalnego n:
\(n^7-n\) jest podzielne przez 7

Dotarłem do czegoś takiego, nie wiem co robić dalej...
\(n^7-n=7*k\)
dla n=1 L=P \(1^7-1=0=7*0\)
\((n+1)^7-(n+1)=(n+1)((n+1)^6-1)=(n+1)(n^6+6n^5+15n^4+20n^3+15n^2+6n)=\)
\(= n^7+7n^6+21n^5+35n^4+35n^3+21n^2+6n\)
Mam wrażenie, że to jedyna sensowna droga do rozwiązania, ale nie wiem co dalej robić...
Mam przeczucie, że powinienem teraz coś wyciągnąć przed nawias

Edit: właśnie zobaczyłem, że w necie są rozwiązania tego zadania, ale nie indukcją - zależy mi właśnie na niej.

[damian28102000]

Dobra chyba to po prostu wystarczy \(\left(n^7-n\right)+7n^6+21n^5+35n^4+35n^3+21n^2+7n\).
Choć ręki nie dam sobie za to uciąć, prosiłbym o potwierdzenie

[eresh]

Dobra chyba to po prostu wystarczy \(\left(n^7-n\right)+7n^6+21n^5+35n^4+35n^3+21n^2+7n\).
Choć ręki nie dam sobie za to uciąć, prosiłbym o potwierdzenie

czyli \(\left(n^7-n\right)+7n^6+21n^5+35n^4+35n^3+21n^2+7n=\\
=7k+ 7n^6+21n^5+35n^4+35n^3+21n^2+7n=7m\)