Proszę o pomoc w zadaniach z indukcji ponieważ nie bardzo wiem jak je rozwiązać.Korzystając z indukcji mat. udowodnij ,że
1.\({8^n} - {2^n}\) jest podzielne przez 6
2.\({2^n} \ge{n^2} \) dla \(n \ge 4\)
Zadanie z indukcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: Zadanie z indukcji
Najistotniejsza część:
\({8^{n+1}} - {2^{n+1}}=8\cdot{8^n} - 2\cdot{2^n}=6\cdot{8^n}+2(8^n -{2^n})\)
Pozdrawiam
PS. Nieindukcyjnie jest łatwiej:
\(8^n-2^n=(8-2)(8^{n-1}+8^{n-2}\cdot2+8^{n-3}\cdot2^2+\cdots+2^{n-1})\)
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: Zadanie z indukcji
Najistotniejsza część:
\(2^{n+1}-(n+1)^2=2\cdot2^n-n^2-2n-1=2\cdot(2^n-n^2)+(n-1)^2-2\ge(n-1)^2-2\ge 9-2\ge0\)
Pozdrawiam
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1509
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: Zadanie z indukcji
Proszę udowodnić metodą indukcji zupełnej prawdziwość zdania:
\( T(n): \) dla każdej liczby naturalnej \( n \) liczba \( 8^{n} - 2^{n} \) jest podzielna przez liczbę \( 6. \)
Sprawdzenie indukcyjne
\( T(n = 0):\ \ 8^{0} - 2^{0} = 0, \ \ 0 | 6 \) - prawda
Założenie indukcyjne
\( T(n= k): \ \ 6 | (8^{k} - 2^{k}) \) ( liczba \( 8^{k} - 2^{k} \) jest podzielna przez \( 6 \))
Krok indukcyjny
\( T(n= k) \rightarrow T(n = k+1) : \ \ [6 |(8^{k} - 2^{k})] \rightarrow [ 6 |( 8^{k+1} - 2^{k+1})] \ \ (*) \)
Aby dowieść prawdziwości implikacji \( (*) \) przekształcamy równoważnie jej następnik
\( 8^{k+1} - 2^{k+1} = 8^{k} \cdot 8 - 2^{k}\cdot 2 = ( 6 + 2)\cdot 8^{k} - 2^{k}\cdot 2 = 6\cdot 8^{k} + 2\cdot 8^{k} - 2\cdot 2^{k}= 6\cdot 8^{k} + 2\cdot ( 8^{k} - 2^{k}) \)
Z założenia indukcyjnego liczba \( 8^{k} -2^{k} \) jest podzielna przez liczbę \( 6. \)
Wobec tego liczba \( 6\cdot 8^{k} + 2\cdot (8^{k} -2^{k}) = 6\cdot 8^{k} + 2\cdot 6\cdot l = 6\cdot ( 8^{k} + 2\cdot l) = 6\cdot m, \ \ m = 8^{k}+2\cdot l, \ \ \ l, \ \ m \in \nn \) jest też podzielna przez liczbę \( 6. \)
Wykazaliśmy, że
\( 1) \) zdanie \( T(0) \) jest prawdziwe,
\( 2) \) dla każdej liczby naturalnej \( k \) z prawdziwości zdania \( T(k) \) wynika prawdziwość zdania \( T(k+1). \)
Wobec tego spełnione są założenia o zasadzie indukcji zupełnej, dla każdego \( n \) naturalnego zdanie \( T(n) \) jest prawdziwe.
Co należało wykazać.
\( T(n): \) dla każdej liczby naturalnej \( n \) liczba \( 8^{n} - 2^{n} \) jest podzielna przez liczbę \( 6. \)
Sprawdzenie indukcyjne
\( T(n = 0):\ \ 8^{0} - 2^{0} = 0, \ \ 0 | 6 \) - prawda
Założenie indukcyjne
\( T(n= k): \ \ 6 | (8^{k} - 2^{k}) \) ( liczba \( 8^{k} - 2^{k} \) jest podzielna przez \( 6 \))
Krok indukcyjny
\( T(n= k) \rightarrow T(n = k+1) : \ \ [6 |(8^{k} - 2^{k})] \rightarrow [ 6 |( 8^{k+1} - 2^{k+1})] \ \ (*) \)
Aby dowieść prawdziwości implikacji \( (*) \) przekształcamy równoważnie jej następnik
\( 8^{k+1} - 2^{k+1} = 8^{k} \cdot 8 - 2^{k}\cdot 2 = ( 6 + 2)\cdot 8^{k} - 2^{k}\cdot 2 = 6\cdot 8^{k} + 2\cdot 8^{k} - 2\cdot 2^{k}= 6\cdot 8^{k} + 2\cdot ( 8^{k} - 2^{k}) \)
Z założenia indukcyjnego liczba \( 8^{k} -2^{k} \) jest podzielna przez liczbę \( 6. \)
Wobec tego liczba \( 6\cdot 8^{k} + 2\cdot (8^{k} -2^{k}) = 6\cdot 8^{k} + 2\cdot 6\cdot l = 6\cdot ( 8^{k} + 2\cdot l) = 6\cdot m, \ \ m = 8^{k}+2\cdot l, \ \ \ l, \ \ m \in \nn \) jest też podzielna przez liczbę \( 6. \)
Wykazaliśmy, że
\( 1) \) zdanie \( T(0) \) jest prawdziwe,
\( 2) \) dla każdej liczby naturalnej \( k \) z prawdziwości zdania \( T(k) \) wynika prawdziwość zdania \( T(k+1). \)
Wobec tego spełnione są założenia o zasadzie indukcji zupełnej, dla każdego \( n \) naturalnego zdanie \( T(n) \) jest prawdziwe.
Co należało wykazać.