Powołując się na indukcję matematyczną pokaż, że jeśli funkcja \(f: \nn \to \nn \) spełnia warunek:
\(f(0) = 8\)
\(f(n) = 7f(n - 1) - 42, n \ge 1\),
to \(f(n) = 7^n + 7, n \ge 0\)
Zadanie z indukcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Młodociany całkowicz
- Często tu bywam
- Posty: 170
- Rejestracja: 07 kwie 2019, 20:35
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 39 razy
Re: Zadanie z indukcji
Dla \(n=0\) równość jest spełniona.
Niech teraz równość jest spełniona dla \(n\).
\(f(n+1) = 7f(n) -42 = 7\cdot 7^n + 49 - 42 = 7^{n+1} + 7\)
A zatem na mocy zasady indukcji matematycznej warunek jest spełniony dla wszystkich naturalnych i zerowych \(n\).
Niech teraz równość jest spełniona dla \(n\).
\(f(n+1) = 7f(n) -42 = 7\cdot 7^n + 49 - 42 = 7^{n+1} + 7\)
A zatem na mocy zasady indukcji matematycznej warunek jest spełniony dla wszystkich naturalnych i zerowych \(n\).
Ostatnio zmieniony 12 sty 2021, 16:51 przez Młodociany całkowicz, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Re: Zadanie z indukcji
Masz pokazać równość
\(7\cdot f(n-1)-42=7^n+7\)
Sprawdzasz dla n=1
\(7\cdot f(0)-42=7\cdot 8-42=56-42=14=7^1+7\)
Zakładasz równość dla n=k i dowodzisz,że równość zachodzi dla n=k+1
\(zał.\\f(k)=7\cdot f(k-1)-42=7^k+7\\teza\;indukcyjna\\f(k+1)=7\cdot f(k+1-1)-42=7\cdot f(k)-42=7\cdot(7^k+7)-42=\\=7^{k+1}+49-42=7^{k+1}+7\)
\(7\cdot f(n-1)-42=7^n+7\)
Sprawdzasz dla n=1
\(7\cdot f(0)-42=7\cdot 8-42=56-42=14=7^1+7\)
Zakładasz równość dla n=k i dowodzisz,że równość zachodzi dla n=k+1
\(zał.\\f(k)=7\cdot f(k-1)-42=7^k+7\\teza\;indukcyjna\\f(k+1)=7\cdot f(k+1-1)-42=7\cdot f(k)-42=7\cdot(7^k+7)-42=\\=7^{k+1}+49-42=7^{k+1}+7\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.