Oblicz sumę za pomocą rachunku różnicowego.

[Mextill]

Witam, Proszę o pomoc w rozwiązaniu:
\(\sum_{n=1}^m\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}
\)

[kerajs]

\(\sum_{n=1}^m\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^m\frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^m(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-1})=\\=
\frac{1}{2} (1+\sum_{n=2}^m\frac{1}{2n-1}-\sum_{n=1}^{m-1}\frac{1}{2n+1}- \frac{1}{2m+1} )=\frac{1}{2} (1- \frac{1}{2m+1} )
\)

[Mextill]

Thank you my Master. I to jest całe rozwiązanie nad którym głowiłem się kilka godzin bo nie wiedziałem jak to ugryźć?

[kerajs]

To poprawne rozwiązanie, jednak nie dam głowy że o taki sposób chodziło prowadzącemu.

[Mextill]

Można prosić o wyjaśnienie skąd ten minus między nawisami w drugim działaniu i wyjaśnienie toku postępowania? Próbowałem to rozpisać krok po kroku niczego nie pomijając i natknąłem się na niewyjaśnione "właściwości".

[kerajs]

1)
Widzę, że janusz47 wyłapał literówkę.
Zamiast:

\(...=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^m(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-1})=...
\)

miało być:
\(...=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^m(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})=...
\)

2)

skąd ten minus między nawisami w drugim działaniu

\(\sum_{n=1}^m\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\sum_{n=1}^m\frac{ \frac{1}{2} \cdot 2}{(2n-1)(2n+1)}= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^m\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^m\frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}
\)

3)

wyjaśnienie toku postępowania?

A konkretnie, to który fragment mam wyjaśnić?

[Mextill]

Prowadzący powiedział, że nie widzi tutaj wykorzystanego rachunku różnicowego, nie wiem co począć...

[kerajs]

Rachunkiem różnicowym określa się różne rzeczy. Nie wiem w jakim kontekście używa go prowadzący. Może pokażesz zadania rozwiązane z jego użyciem lub adekwatny fragment wykładu.

PS
To samo zrób także na forach w których umieszczałeś to zadanie.

[Mextill]

https://www.docdroid.net/QfuBfdV/111-pdf

Wrzucam wykład na online viewer.