Tautologia, wykaż, że, równość

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
krniasty
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 54
Rejestracja: 05 maja 2016, 21:03
Podziękowania: 27 razy
Płeć:

Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: krniasty »

1. Wyznaczyć złożenia funkcji f \(\circ\) g i \( f \circ f, \)
gdzie
\( f(x) = 2x^2 - 3x - 1, g(x) = 2 + cos(x-1) \)
Nie przekształcać otrzymanych wzorów.

2. Wyznaczyć:
a) Pierwiastek kwadratowy z liczby \(-8+15i\)
b) \( (1-i\sqrt3)^{30} \)
(wynik zapisać w postaci \(a+ bi\))

3. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi równość:

\( \frac{1}{1\cdot2} +\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{n\cdot (n+1)} = \frac{n}{n+1}\)
Ostatnio zmieniony 09 lis 2020, 11:20 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości; matematyka w [tex] [/tex]
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: eresh »

krniasty pisze: 09 lis 2020, 10:57 1. Wyznaczyć złożenia funkcji f \(\circ\) g i \( f \circ f, \)
gdzie
\( f(x) = 2x^2 - 3x - 1, g(x) = 2 + cos(x-1) \)
Nie przekształcać otrzymanych wzorów.
\(f(g(x))=2(2+\cos (x-1))^2-3(2+\cos(x-1))-1\\
g(f(x))=2+\cos (2x^2-3x-1-1)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
krniasty
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 54
Rejestracja: 05 maja 2016, 21:03
Podziękowania: 27 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: krniasty »

Trzecie już zrobiłem! :)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: eresh »

krniasty pisze: 09 lis 2020, 10:57
2. Wyznaczyć:
b) \( (1-i\sqrt3)^{30} \)
(wynik zapisać w postaci a+ bi)
\(z=1-i\sqrt{3}\\
|z|=\sqrt{1+3}=2\\
\cos\phi=\frac{1}{2}\\
\sin\phi =\frac{-\sqrt{3}}{2}\\
\phi =\frac{5\pi}{3}\\
z^{30}=2^{30}(\cos 50\pi+i\sin 50\pi)\\
z^{30}=2^{30}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: eresh »

krniasty pisze: 09 lis 2020, 11:10 Trzecie już zrobiłem! :)
brawo! :D
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
krniasty
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 54
Rejestracja: 05 maja 2016, 21:03
Podziękowania: 27 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: krniasty »

eresh pisze: 09 lis 2020, 11:06
krniasty pisze: 09 lis 2020, 10:57 1. Wyznaczyć złożenia funkcji f \(\circ\) g i \( f \circ f, \)
gdzie
\( f(x) = 2x^2 - 3x - 1, g(x) = 2 + cos(x-1) \)
Nie przekształcać otrzymanych wzorów.
\(f(g(x))=2(2+\cos (x-1))^2-3(2+\cos(x-1))-1\\
g(f(x))=2+\cos (2x^2-3x-1-1)\)
Trzeba było wykonać F od F, nie g od f! :)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: eresh »

krniasty pisze: 09 lis 2020, 11:16
eresh pisze: 09 lis 2020, 11:06
krniasty pisze: 09 lis 2020, 10:57 1. Wyznaczyć złożenia funkcji f \(\circ\) g i \( f \circ f, \)
gdzie
\( f(x) = 2x^2 - 3x - 1, g(x) = 2 + cos(x-1) \)
Nie przekształcać otrzymanych wzorów.
\(f(g(x))=2(2+\cos (x-1))^2-3(2+\cos(x-1))-1\\
g(f(x))=2+\cos (2x^2-3x-1-1)\)
Trzeba było wykonać F od F, nie g od f! :)
:oops:

\(f(f(x))=2(2x^2 - 3x - 1)^2-3(2x^2 - 3x - 1)-1\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
krniasty
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 54
Rejestracja: 05 maja 2016, 21:03
Podziękowania: 27 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: krniasty »

A jakieś rady z tym pierwiastkiem kwadratowym? :P
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: eresh »

krniasty pisze: 09 lis 2020, 11:29 A jakieś rady z tym pierwiastkiem kwadratowym? :P
http://www.tomaszgrebski.pl/viewpage.php?page_id=540
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
krniasty
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 54
Rejestracja: 05 maja 2016, 21:03
Podziękowania: 27 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: krniasty »

Oraz, czy dałoby się wykonać ostatnie zadanie indukcją matematyczną? :)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: Jerry »

krniasty pisze: 09 lis 2020, 10:57 2. Wyznaczyć:
a) Pierwiastek kwadratowy z liczby \(-8+15i\)
\( \begin{cases}(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi\\(a+bi)^2=-8+15i \end{cases}\iff\begin{cases}a^2-b^2=-8\\2ab=15 \end{cases}
\Rightarrow a^2-\left({15\over 2a}\right)^2=-8 \wedge a\in\rr \)


Pozdrawiam

[edited] zaproponowałem "na piechotę"
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: eresh »

krniasty pisze: 09 lis 2020, 11:36 Oraz, czy dałoby się wykonać ostatnie zadanie indukcją matematyczną? :)
dałoby się
krniasty pisze: 09 lis 2020, 10:57 3. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi równość:

\( \frac{1}{1\cdot2} +\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{n\cdot (n+1)} = \frac{n}{n+1}\)
\(n=1\\
\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{1+1}\\
\frac{1}{2}=0,5\)


Z:
\( \frac{1}{1\cdot2} +\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{n\cdot (n+1)} = \frac{n}{n+1}\)

T:
\( \frac{1}{1\cdot2} +\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{n\cdot (n+1)} +\frac{1}{(n+1)(n+2)}= \frac{n+1}{n+2}\)

\(L= \frac{1}{1\cdot2} +\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{n\cdot (n+1)} +\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}=P\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
krniasty
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 54
Rejestracja: 05 maja 2016, 21:03
Podziękowania: 27 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: krniasty »

eresh pisze: 09 lis 2020, 11:11
krniasty pisze: 09 lis 2020, 10:57
2. Wyznaczyć:
b) \( (1-i\sqrt3)^{30} \)
(wynik zapisać w postaci a+ bi)
\(z=1-i\sqrt{3}\\
|z|=\sqrt{1+3}=2\\
\cos\phi=\frac{1}{2}\\
\sin\phi =\frac{-\sqrt{3}}{2}\\
\phi =\frac{5\pi}{3}\\
z^{30}=2^{30}(\cos 50\pi+i\sin 50\pi)\\
z^{30}=2^{30}\)
Mam jeszcze pytanie, co oznacza tutaj ten znak "cosϕ"? Przepraszam za natłok pytań, ale wolę mieć wszystko jasne!
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Tautologia, wykaż, że, równość

Post autor: eresh »

krniasty pisze: 09 lis 2020, 11:45
Mam jeszcze pytanie, co oznacza tutaj ten znak "cosϕ"? Przepraszam za natłok pytań, ale wolę mieć wszystko jasne!
\(\cos\phi\) - cosinus kąta \(\phi\)
\(\phi\) - argument liczby zespolonej
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ