TAUTOLOGIA, LICZBY ZESPOLONE, DZIEDZINA

[krniasty]

Prosiłbym o pomoc w poniższych zadaniach, lub o rozwiązanie.

1)
a) Rozwiąż równanie zespolone: \(3z^2 - 2z + 1 = 0\)
b) Oblicz \( z^{24}\) lub \(\sqrt[4]{z}\) jeśli z = \(\sqrt{2} - \sqrt{2i}\)

2) Metodą indukcji matematyczne udowodnij jeden z podpunktów:

a) Liczba \(n^3 +2n\) jest podzielna przez 3 dla każdego \({n\in\nn}\)
b) Dla każdej liczby naturalnej \(n > 0\) zachodzi równość:
\( 2^3 + 4^3 + ... + (2n)^3 = 2(n+n^2)^2\)
c) Dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) zachodzi nierówność:
\( 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} \le 2 - \frac{1}{n}\)

3) Wyznacz dziedzinę funkcji

\( f(x) = \sqrt{\frac{2}{x^3+5x^2-2x-24}}\)

4) Sprawdź (graficznie lub algebraicznie), czy podana funkcja \(f: \rr \to \rr \) jest bijekcją oraz wyznacz \(f(A)\) i \( f^{-1} (B) \) jeśli \(A = (-4, 0)\), \(B=\langle4,6\rangle\) oraz
\(
f(x)=\begin{cases}x+4&\text{dla}& x \ge 0\\ -2x &\text{dla}& x < -1 \\ 2x+3 &\text{dla}& -1\le x<0\end{cases}
\)

5) Sprawdź czy podane zdanie jest tautologią:

\( [p \wedge (q \vee s)] \Rightarrow p\)

[eresh]

3) Wyznacz dziedzinę funkcji

\( f(x) = \frac{2}{x^3+5x^2-2x-24}\)

\(f(x)=\frac{2}{(x-2)(x^2+7x+12)}\\
f(x)=\frac{2}{(x-2)(x+4)(x+3)}\\
D_f=\mathbb{R}\setminus\{2,-4,-3\}\)

[krniasty]

3) Wyznacz dziedzinę funkcji

\( f(x) = \frac{2}{x^3+5x^2-2x-24}\)

\(f(x)=\frac{2}{(x-2)(x^2+7x+12)}\\
f(x)=\frac{2}{(x-2)(x+4)(x+3)}\\
D_f=\mathbb{R}\setminus\{2,-4,-3\}\)

kurcze nie wiem czemu nie wychwyciło mi pierwiastka. To wszystko było pod pierwiastkiem:(

[eresh]

3) Wyznacz dziedzinę funkcji

\( f(x) = \frac{2}{x^3+5x^2-2x-24}\)

\(f(x)=\frac{2}{(x-2)(x^2+7x+12)}\\
f(x)=\frac{2}{(x-2)(x+4)(x+3)}\\
D_f=\mathbb{R}\setminus\{2,-4,-3\}\)

kurcze nie wiem czemu nie wychwyciło mi pierwiastka. To wszystko było pod pierwiastkiem:(

no to do rozwiązania nierówność
\((x-2)(x+4)(x+3)>0\)

[eresh]

2) Metodą indukcji matematyczne udowodnij jeden z podpunktów:

a) Liczba \(n^3 +2n\) jest podzielna przez 3 dla każdego \({n\in\nn}\)
b) Dla każdej liczby naturalnej n > 0 zachodzi równość:
\( 2^3 + 4^3 + ... + (2n)^3 = 2(n+n^2)^2\)
c) Dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) zachodzi nierówność:
\( 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} \le 2 - \frac{1}{n}\)

Skoro jeden, to wybieram a)
1. dla \(n=1\)
\(1^3+2\cdot 1=3\) - jest podzielne przez 3
2. zakładam, że dla \(n>0\) \(n^3+2n=3k, k\in\mathbb{C}\)
3. wykażę, że dla \(n>0\;\;(n+1)^3+2(n+1)=3m, m\in\mathbb{C}\)
\((n+1)^3+2(n+1)=n^3+3n^2+3n+1+2n+2=n^2+2n+3(n^2+3n+3)=3k+3l=3m\)

[Jerry]

1)
a) Rozwiąż równanie zespolone: \(3z^2 - 2z + 1 = 0\)

\(\Delta=4-12=-8\Rightarrow\sqrt\Delta=2\sqrt2\cdot i\)
\(z_1=\frac{2-2\sqrt2\cdot i}{6}=\cdots\vee z_2=\frac{2+2\sqrt2\cdot i}{6}=\cdots\)

Pozdrawiam

[Jerry]

1)
b) Oblicz \( z^{24}\) lub \(\sqrt[4]{z}\) jeśli z = \(\sqrt{2} - \sqrt{2i}\)

Gdyby, co byłoby naturalniejsze,
\(z=\sqrt{2} - \sqrt{2}i\)
to
\(z=2\left({\sqrt{2}\over2} -{ \sqrt{2}\over2}i\right)=2\left(\cos{7\pi\over4} +i\sin{ 7\pi\over4}\right)\)
zatem
\(z^{24}=2^{24}\left(\cos{24\cdot7\pi\over4} +i\sin{24\cdot7\pi\over4}\right)=\cdots\)
\(\sqrt[4]z=\sqrt[4]2\left(\cos\frac{{7\pi\over4}+2k\pi}{4} +i\sin\frac{{7\pi\over4}+2k\pi}{4}\right)\) dla \(k=0,1,2,3\)

Pozdrawiam

[Jerry]

4) Sprawdź (graficznie lub algebraicznie), czy podana funkcja \(f: \rr \to \rr \) ...

Narysuj, po prostu, wykres i "przeczytaj z niego" odpowiedzi...

Pozdrawiam

[Jerry]

5) Sprawdź czy podane zdanie jest tautologią:
\( [p \wedge (q \vee s)] \Rightarrow p\)

Najprościej - metodą \(0-1\), ale...
Ponieważ implikacja jest fałszywa tylko dla: \(1\Rightarrow 0\), to sytuacja taka w rozpatrywanej konstrukcji zdaniowej nie zajdzie, bo jeżeli następnik jest fałszywy, to i poprzednik jest fałszywy...

Pozdrawiam