Wyznaczanie wzoru ogólnego ciągu

[ketnasar77]

Ciąg \(a_{n}\) dany jest wzorem rekurencyjnym
\(\quad a_{0} = a_{1} = 0, \; a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_{n} + 2.\)

Wyznaczyć wzór ogólny ciągu z wykorzystaniem funkcji tworzących ciągów.

[panb]

Ciąg \(a_{n}\) dany jest wzorem rekurencyjnym
\(\quad a_{0} = a_{1} = 0, \; a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_{n} + 2.\)

Wyznaczyć wzór ogólny ciągu z wykorzystaniem funkcji tworzących ciągów.

Przypomnę, że \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n= \frac{1}{1-x} \) dla \(|x|<1\).

Niech \(A(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n\) bedzie funkcją tworzącą ciągu \((a_n)\).
\(\displaystyle 6a_n=5a_{n+1}-a_{n+2}+2 \So 6 \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty} \left( 5a_{n+1}-a_{n+2}+2\right)x^n \)
Zatem \(\displaystyle{ 6A(x)= 5\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1} x^n- \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2}x^n+2 \sum_{n=0}^{\infty} x^n\\
6A(x)= \frac{5}{x} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1}x^{n+1}- \frac{1}{x^2} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2}x^{n+2}+ \frac{2}{1-x} }\)
Ponieważ \(a_0=a_1=0\), więc powyższą równość można zapisać w postaci \( \displaystyle 6A(x)= \frac{5}{x} \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n- \frac{1}{x^2} \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n+ \frac{2}{1-x} \)

Zatem \(6A(x)= \frac{5}{x}A(x)- \frac{1}{x^2}A(x)+ \frac{2}{1-x} \iff A(x) \left( 6- \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} \right) = \frac{2}{1-x} \iff A(x) \frac{6x^2-5x+1}{x^2}= \frac{2}{1-x} \)

Stad \(\displaystyle A(x)= \frac{2x^2}{(1-x)(6x^2-5x+1)}= \frac{2x^2}{6(1-x)(x- \frac{1}{3})(x- \frac{1}{2}) } = \frac{2x^2}{(1-x) \left(1-2x \right) \left( 1-3x\right) } \)

Wyrażenie \(\frac{2x^2}{(1-x) \left(1-2x \right) \left( 1-3x\right) } = \frac{2}{2x-1} - \frac{1}{3x-1} - \frac{1}{x-1}= \frac{-2}{1-2x} + \frac{1}{1-3x} + \frac{1}{1-x} \)
Każdy z tych ułamków przedstawia (przy odpowiednich warunkach) sumę szeregu potegowego, zatem
\(\displaystyle A(x)= \frac{2x^2}{(1-x)(6x^2-5x+1)}= \sum_{n=0}^{\infty} -2\cdot(2x)^n + \sum_{n=0}^{\infty}(3x)^n+ \sum_{n=0}^{\infty}x^n= \sum_{n=0}^{\infty} \left(-2\cdot2^n+3^n+1 \right) x^n= \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)

Wobec tego

Odpowiedź: \(a_n=1+3^n-2\cdot2^n\)

Sprawdzenie:
\(a_0=1+1-2=0\\
a_1=1+3-2\cdot2=0\\
a_2=1+9-2\cdot4=2\)

Według wzoru rekurencyjnego: \(a_2=5a_1-6a_0+2=0+0+2=2\)

THE END