Funkcje

[dziergwaz]

Cześć !
Mojemu profesorowi od matematyki dyskretnej nie sposobały się moje rozwiązania zadań; Prawdę mówiąc nie wiem do końca jak się za to teraz zabrać, z racji tego, że nie przypominam sobie takich rzeczy na ćwiczeniach

1) Niech f, g : R → R będą funkcjami takimi, że dla x ∈ R: f(x) = 2x + 2 i g(x) = 0.5x - 0.5. Czy f(x) = g(x)^(1)?

moja odp:
F(1) = {1,-1} min = -1
F(-1)= {-1,-1} min = -1
F(49) = {1, -49} min = -49
F(-49) = {1,49} min = 1
F(50) = {1, 50} min = 1
F(50) = {1,-50} min = -50
F(-2) = {1, -2} min = -2
F(2) = {1, 2} min = 1
Nie dla każdego n, funkcja jest „na”

odp profesora: brak uzasadnienia (trzeba wskazać jaka liczba nie jest obrazem żadnej liczby całkowitej przy tej funkcji)


2) Czy funkcja f : Z → Z taka, że dla każdego n ∈ Z f(n) = min{n, ((−1)^n) * n} jest różnowartościowa?

3) Czy funkcja f : Z → Z taka, że dla każdego n ∈ Z f(n) = min{n, ((−1)^n) * n} jest ”na”?

moja odp:
Czy f = g^(-1)?
2x - 2 = y
2x = y + 2
x = 1/2y -1
g(x) = (1/2) x - 1/2
Nie, f != g^(-1)

odp profesora:w pewnym miejscu konstrukcji funkcji odwrotnej do f zmienia się – bez uzasadnienia – znak, a więc konstrukcja jest zła i nie może służyć do wyciągania wniosków.

[panb]

ad.1 Nie rozumiem o co ci tu chodzi, te zapiski z F, to chyba do zadania 2.

ad. 3 jeśli napisałaś, że ''Nie dla każdego n, funkcja jest „na”', to profesor miał prawo się wkurzyć, bo to znaczy, że nie rozumiesz pojęcia. Funkcja jest "na" nie dla poszczególnych n-ów, tylko w ogóle. Poprawna odpowiedź, to:
funkcja f, nie jest "na" ponieważ nie istnieje \( x\in \zz: f(x)=1\)
(po polsku: funkcja nigdy nie przyjmuje wartości równej 1, więc zbiór wartości funkcji f nie jest równy \(\zz\), a to znaczy, że funkcja nie jest "na").

[panb]

ad 2. Oczywiście, że nie jest różnowartościowa. Przecież \(f(1)=f(-1)\)

Już widzę, co źle napisałaś w 1. Powinno być \(f(x)=g^{-1}(x) \)

Zaczynasz od \( g^{-1}(x)\)
\(y=0,5x-0,5 \\
x=0,5y-0,5 \So 2x=y-1 \So y=2x+1\neq f(x)\)

[dziergwaz]

Mój błąd, źle przekopiowałam swoje odpowiedzi pod pytania.
Rozumiem 2 i 3( zauważyłam banalny błąd)
natomiast:

3) Czy funkcja f : Z → Z taka, że dla każdego n ∈ Z f(n) = min{n, ((−1)^n) * n} jest ”na”?

moja odp:
F(1) = {1,-1} min = -1
F(-1)= {-1,-1} min = -1
F(49) = {1, -49} min = -49
F(-49) = {1,49} min = 1
F(50) = {1, 50} min = 1
F(50) = {1,-50} min = -50
F(-2) = {1, -2} min = -2
F(2) = {1, 2} min = 1
Nie dla każdego n, funkcja jest „na”

odp profesora: brak uzasadnienia (trzeba wskazać jaka liczba nie jest obrazem żadnej liczby całkowitej przy tej funkcji)

zupełnie nie rozumiem czym jest liczba która nie jest obrazem żadnej liczby całkowitej przy tej funkcji + jak wykazać/ sprawdzić, czy funkcja jest "na"?

[panb]

nie rozumiem czym jest liczba która nie jest obrazem żadnej liczby całkowitej przy tej funkcji

- miał na myśli, że jest taka liczba (mianowicie 1), która nie jest wartością tej funkcji dla żadnego n całkowitego, bo
dowodzenie, że funkcja \(f: X \to Y\) jest "na" polega na wzięciu dowolnego \(y\in Y\) i pokazaniu, że w zbiorze X jest taki element \(x_0\), że \(f(x_0)=y\) albo, co jest prostsze, znalezieniu takiego \(y\in Y\), który nie jest obrazem żadnego \(x\in X\)