Wyznaczyć wzór na n-tą potęgę macierzy. Udowodnić indukcyjnie.
Podana macierz:
1 1 0
0 0 1
1 0 0
Znaleźć sumę n początkowych wyrazów ciągu o numerach
a) nieparzystych
b) parzystych
c) wszystkich
Udowodnić indukcyjnie.
Wzór na n-tą potęgę macierzy 3x3 indukcyjnie.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Re: Wzór na n-tą potęgę macierzy 3x3 indukcyjnie.
a)Tak, dobrze jest przepisana macierz. Jedyne co zauważam to w kolejnych potęgach macierzy w 1 kolumnach i 1 rzędach oprócz wyrazu a11 pojawiają się liczby naprzemiennie np:
A^4
3 2 1
1 1 1
2 1 1
A^5
4 3 2
2 1 1
3 2 1
A^6
6 4 3
3 2 1
4 3 2
Ale czy to do czegoś prowadzi? Czy to pomyłka może prowadzącego?
b)Sorki, od "znaleźć sumę n początkowych wyrazów" to 2 zadanie, zapomniałem dopisać.
A^4
3 2 1
1 1 1
2 1 1
A^5
4 3 2
2 1 1
3 2 1
A^6
6 4 3
3 2 1
4 3 2
Ale czy to do czegoś prowadzi? Czy to pomyłka może prowadzącego?
b)Sorki, od "znaleźć sumę n początkowych wyrazów" to 2 zadanie, zapomniałem dopisać.
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Wzór na n-tą potęgę macierzy 3x3 indukcyjnie.
Niech
\(A^k= \begin{bmatrix} a_k & b_k & c_k \\ d_k & e_k & f_k \\ g_k & h_k & i_k \end{bmatrix} \)
Z mnożenia
\(A^n=A^{n-1} \cdot A =\) mam:
\(\begin{bmatrix} a_n & b_n & c_n \\ d_n & e_n & f_n \\ g_n & h_n & i_n \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{n-1} +c_{n-1} & a_{n-1} & b_{n-1} \\ d_{n-1} +f_{n-1} & d_{n-1} & e_{n-1} \\ g_{n-1} +i_{n-1} & g_{n-1} & h_{n-1} \end{bmatrix}\)
co upraszcza się do:
\(A^n=\begin{bmatrix} a_{n-1} +a_{n-3} & a_{n-1} & a_{n-2} \\ d_{n-1} +d_{n-3} & d_{n-1} & d_{n-2} \\ g_{n-1} +g_{n-3} & g_{n-1} & g_{n-2} \end{bmatrix}\)
a potem do:
\( A^n =\begin{bmatrix} a_{n-1} +a_{n-3} & a_{n-1} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-3} & a_{n-4} \\ a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} \end{bmatrix}\)
gdzie a\(_{-3}=1 \ , \ a_{-2}=0 \ , \ a_{-1}=0 \),
Wszystko sprowadza się do rozwiązania równania: \(a_n= a_{n-1} +a_{n-3}\)
jednak równanie charakterystyczne: \(r^3-r^2-1=0\) ma tak brzydki pierwiastek rzeczywisty, że zniechęcił mnie do dalszego liczenia.
W zadaniu 2 nie podałeś wzoru ciągu.
\(A^k= \begin{bmatrix} a_k & b_k & c_k \\ d_k & e_k & f_k \\ g_k & h_k & i_k \end{bmatrix} \)
Z mnożenia
\(A^n=A^{n-1} \cdot A =\) mam:
\(\begin{bmatrix} a_n & b_n & c_n \\ d_n & e_n & f_n \\ g_n & h_n & i_n \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{n-1} +c_{n-1} & a_{n-1} & b_{n-1} \\ d_{n-1} +f_{n-1} & d_{n-1} & e_{n-1} \\ g_{n-1} +i_{n-1} & g_{n-1} & h_{n-1} \end{bmatrix}\)
co upraszcza się do:
\(A^n=\begin{bmatrix} a_{n-1} +a_{n-3} & a_{n-1} & a_{n-2} \\ d_{n-1} +d_{n-3} & d_{n-1} & d_{n-2} \\ g_{n-1} +g_{n-3} & g_{n-1} & g_{n-2} \end{bmatrix}\)
a potem do:
\( A^n =\begin{bmatrix} a_{n-1} +a_{n-3} & a_{n-1} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-3} & a_{n-4} \\ a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} \end{bmatrix}\)
gdzie a\(_{-3}=1 \ , \ a_{-2}=0 \ , \ a_{-1}=0 \),
Wszystko sprowadza się do rozwiązania równania: \(a_n= a_{n-1} +a_{n-3}\)
jednak równanie charakterystyczne: \(r^3-r^2-1=0\) ma tak brzydki pierwiastek rzeczywisty, że zniechęcił mnie do dalszego liczenia.
W zadaniu 2 nie podałeś wzoru ciągu.
Re: Wzór na n-tą potęgę macierzy 3x3 indukcyjnie.
Dzięki za wyjaśnienie 1, a drugie jest tak podane bez wzoru ale po prostu wydaje mi się że jest źle sformułowane i zadane przez prowadzącego, więc po prostu wystarczy 1. Dzięki.