Działania uogólnione - sprawdzenie zadania

[Caleczka123654]

Witam, mam takie zadanie do zrobienia:
Udowodnić, że dla dowolnego zbioru \(A\) i dowolnej indeksowanej rodziny zbiorów \({A_{t}}, t\in T\) zachodzą:
1) \(A \cup \cup_{t\in T} A_t = \cup_{t\in T} (A \cup A_t) \)
2) \(A \cup \cap_{t\in T} A_t = \cap_{t\in T} (A \cup A_t) \)

A teraz pytanie o moje rozwiązania - czy są poprawne.
1)
\(A \cup \cup_{t\in T} A_t \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x\in A \lor x \in \cup_{t\in T} A_t \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x\in A \lor (\land_{t\in T} x\in A_t) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \land_{t\in T} (x\in A \lor x\in A_t) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \land_{t\in T} x\in (A \cup A_t) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \cup_{t\in T} (A \cup A_t) \\
c.n.d
\)

2)
\(A \cup \cap_{t\in T} A_t \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x\in A \lor x \in \cap_{t\in T} A_t \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x\in A \lor (\lor_{t\in T} x\in A_t) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \lor_{t\in T} (x\in A \lor x\in A_t) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \lor_{t\in T} x\in (A \cup A_t) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \cap_{t\in T} (A \cup A_t) \\
c.n.d
\)

Z góry dziękuję : ))

[panb]

Tak to powinno wygladać:
\(\displaystyle x\in A \cup \bigcup_{t\in T}A_t \iff \left( x\in A\right) \vee \left( \exists t\in T: x\in A_t\right) \iff \exists t\in T: x\in A \cup A_t \iff x\in \bigcup _{t\in T} (A\cup A_t)\)

\( \exists \) - istnieje
\( \forall \) - dla każdego

[Caleczka123654]

" ∀ - dla każdego "
Tutaj nigdzie nie użyłeś tego symbolu? Nie powinno się w przypadku sumy tego użyć?

[panb]

Nie, podałem go, bo się przyda w tym drugim przykładzie.
Używałem takich, bo te, użyte prze cb mogły być mylące. Mogło nawet być ok, ale po twoim pytaniu widzę, że nie było.

[Caleczka123654]

Jesteś pewny, że przykład 1 nie powinien właśnie wyglądać tak
\[ x\in A \cup \bigcup_{t\in T}A_t \iff \left( x\in A\right) \vee \left( \forall t\in T: x\in A_t\right) \iff \forall t\in T: x\in A \cup A_t \iff x\in \bigcup _{t\in T} (A\cup A_t) \]
a drugi tak:
\[ x\in A \cup \bigcap_{t\in T}A_t \iff \left( x\in A\right) \vee \left( \exists t\in T: x\in A_t\right) \iff \exists t\in T: x\in A \cup A_t \iff x\in \bigcap _{t\in T} (A\cup A_t) \]

?

Pytam, bo wydaje mi się, że przy sumie jest "dla każdego", a przy iloczynie "po prostu istnieje".

[panb]

Odwrotnie. Przy sumie jest w jednym, przy iloczynie w każdym.