Nie umiem dokończyć rozwiązania zadania, utknąłem w połowie :/
a) \(a_{n1}=9a_{n-2}-8n+10\) gdzie \(n \ge 2, a_{n0}=1,a_{n1}=20 \)
Mam jakby pierwszą cześć:
A) \(a_{n}^{(1)}=9a_{n-2}^{(1)}\)
\(x^{2}=9\)
\( \alpha =-3 , \beta =3\)
\(a_{n}^{(1)}=C_1(-3)^n+C_2(3)^n\)
I teraz nie wiem co zrobić dalej ...
Mam tyle \(a_n^{(2)}=An+B\)
Zadanie rekurencja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Zadanie rekurencja
Prawidłowo ta rekurencja powinna brzmieć \(a_{n-1}=9a_{n-2}-8a_n+10\), gdzie \(a_0=1,\ a_1=20.\)
Przepisujemy do postaci \(8a_n+a_{n-1}-9a_{n-2}=10.\) Równanie charakterystyczne \(8r^2+r-9=0\) ma pierwiastki \(1\) oraz \(-\frac{9}{8},\) więc rekurencja ma rozwiązanie \(a_n=A+B\cdot\left(-\frac{8}{9}\right)^n+Cn.\) Ciąg \(Cn\)jest pewnym rozwiązaniem szczególnym tej rekurencji. No więc wyznaczamy go w oparciu o równanie rekurencji: \(8Cn+C(n-1)-9C(n-2)=10.\) Stałe \(A,B\) wyznaczamy z warunków początkowych \(a_0=1,\ a_1=20.\)
Przepisujemy do postaci \(8a_n+a_{n-1}-9a_{n-2}=10.\) Równanie charakterystyczne \(8r^2+r-9=0\) ma pierwiastki \(1\) oraz \(-\frac{9}{8},\) więc rekurencja ma rozwiązanie \(a_n=A+B\cdot\left(-\frac{8}{9}\right)^n+Cn.\) Ciąg \(Cn\)jest pewnym rozwiązaniem szczególnym tej rekurencji. No więc wyznaczamy go w oparciu o równanie rekurencji: \(8Cn+C(n-1)-9C(n-2)=10.\) Stałe \(A,B\) wyznaczamy z warunków początkowych \(a_0=1,\ a_1=20.\)