Witam, mam problem z zadankiem może ktoś coś będzie wstanie pomóc:
W zbiorze liczb zespolonych C wprowadzamy relację r wzorem (x,y) in r wttw Re(y) <= Re(x) oraz Im(y) <= Im(x). Udowodnij, że zbiór (C,r) jest częściowo uporządkowany. Zbadaj czy zbiór ten jest liniowo uporządkowany. (Re(x) oznacza część rzeczywistą liczby x, Im(x) oznacza część urojoną liczby x).
Zbior- częściowo uporządkowany
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Zbior- częściowo uporządkowany
Wskazówka - poczytaj o porządku produktowym - np. w książce Jana Kraszewskiego, Wstęp do matematyki.
Sprawdzaj każdą z własności tej relacji: zwrotność, słabą antysymetrię i przechodniość. Najłatwiej będzie zapisać tę relację tak:\[(a+bi,c+di)\in r\iff c\leqslant a\wedge d\leqslant b.\]Najlepiej jednak zinterpretować ją jako relację między punktami płaszczyzny identyfikując liczbę zespoloną \(a+bi\) z punktem płaszczyzny \((a,b).\)Wtedy\[\bigl((a,b),\ (c,d)\bigr)\in r\iff c\leqslant a\wedge d\leqslant b. \] Jak w tej interpretacji nasza relacja wygląda pod względem geometrycznym (gdzie leżą punkty \((c,d)\) takie, że \(\bigl((a,b),\ (c,d)\bigr)\in r)?\)
Liniowy porządek to taki, że każde dwa elementy są porównywalne. Czy np. liczby \(0=0+0i\) oraz \(1-i\) (czyli po prostu punkty \((0,0)\) oraz \((1,-1)\)) są porównywalne (porównywalnymi nazywamy elementy będące z sobą w relacji porządku)?
Sprawdzaj każdą z własności tej relacji: zwrotność, słabą antysymetrię i przechodniość. Najłatwiej będzie zapisać tę relację tak:\[(a+bi,c+di)\in r\iff c\leqslant a\wedge d\leqslant b.\]Najlepiej jednak zinterpretować ją jako relację między punktami płaszczyzny identyfikując liczbę zespoloną \(a+bi\) z punktem płaszczyzny \((a,b).\)Wtedy\[\bigl((a,b),\ (c,d)\bigr)\in r\iff c\leqslant a\wedge d\leqslant b. \] Jak w tej interpretacji nasza relacja wygląda pod względem geometrycznym (gdzie leżą punkty \((c,d)\) takie, że \(\bigl((a,b),\ (c,d)\bigr)\in r)?\)
Liniowy porządek to taki, że każde dwa elementy są porównywalne. Czy np. liczby \(0=0+0i\) oraz \(1-i\) (czyli po prostu punkty \((0,0)\) oraz \((1,-1)\)) są porównywalne (porównywalnymi nazywamy elementy będące z sobą w relacji porządku)?