Liczb pierwszych mniejszych lub równych n jest

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
vb_
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 27 sty 2018, 16:51
Podziękowania: 8 razy
Płeć:

Liczb pierwszych mniejszych lub równych n jest

Post autor: vb_ » 16 cze 2019, 16:41

Stwierdzić, czy podane zdania są prawdziwe, czy fałszywe:

Liczb pierwszych mniejszych lub równych \(n\) jest:
a) w przybliżeniu \(\sqrt{n}\)
b) w przybliżeniu \(|{\frac{n}{\ln{n}}}|\) - zakładam, że jest prawdziwe zgodnie z Twierdzeniem Gaussa o liczbach pierwszych, gdzie \(\pi(n) \approx \frac{n}{\ln{n}}\), ale proszę o poprawienie gdyby jednak się okazało że nie jest prawdziwe
c) w przybliżeniu \(|{\frac{\ln{n}}{n}}|\)

Proszę o jakieś uzasadnienie, dlaczego tak a nie inaczej :)
Z góry dziękuję za pomoc.

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1440
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 605 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 16 cze 2019, 19:23

b)
Wiesz że Gauss nie zdołał udowodnić tego twierdzenia? Więc nie licz, że taki laik jak ja, będzie to potrafił.
Jednak jest ono prawdziwe, co wykazano kilkadziesiąt lat po jego śmierci. Pewnie w necie znajdziesz satysfakcjonujący Cię dowód.

A może wystarczy tabelka z https://en.wikipedia.org/wiki/Prime-counting_function ?

vb_
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 27 sty 2018, 16:51
Podziękowania: 8 razy
Płeć:

Post autor: vb_ » 16 cze 2019, 19:39

Nie chodzi o dowód formalny, a o jakiś krótki komentarz :)
Ogólnie zrobiłem tak, że rozrysowałem sobie w programie funkcje \(\frac{x}{\ln{x}}\) , \(\frac{\ln{x}}{x}\), \(\sqrt{x}\) i biorąc pod uwagę twierdzenie Gaussa, i fakt, że te funkcje od siebie odbiegają na x > 0 to a) i c) są fałszywe, a b) prawdziwe. Mam nadzieję, że to dobre wnioski.