Ile rozwiązań w liczbach ze zbioru {5,6,...,15} ma równanie

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dandon223
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 32
Rejestracja: 18 sty 2018, 20:55
Podziękowania: 17 razy
Płeć:

Ile rozwiązań w liczbach ze zbioru {5,6,...,15} ma równanie

Post autor: dandon223 » 13 kwie 2019, 20:55

Ile rozwiązań w liczbach ze zbioru {5,6,...,15} ma równanie a+b+c+d =45?
Zakladam ze 0 tez moga wystepowac.

Uwazam ze poszlaka jest zasada wlaczen i wylaczen ale jak probuje ja zastosowac to gdzies sie gubie ale od poczatku.

Skoro a+b +c +d =45, gdzie a,b,c,d >=5 i <=15 , to po przekrztalceniu mozna to sprowadzic do takiego problemu:
A+B+C+D = 25 gdzie A,B,C,D >=0 i <=10

i tutaj sie troche gubie.

HubaBuba
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 05 mar 2019, 22:14

Post autor: HubaBuba » 14 maja 2019, 18:53

Zauważ że jeśli pojawia się w rozwiązaniu zbiór pusty to pozostałe liczby automatycznie musza mieć wartosci 15, bo 45 = 0+15+15+15. Takie rozwiązanie możemy zapisać na 4 sposoby (miejsce na 0 możemy wybrać na 4 sposoby spośród A,B,C,D).
Teraz kontynuując już z warunkiem, że A,B,C,D są rózne od zera możesz przekształcić równość tak jak na początku próbowałeś.
Na początku rozwiążemy troszkę prostszy problem.
Możesz pomyśleć o tym problemie tak: masz 25 kuleczek i chcesz je podzielić na 4 podzbiory , tak że każdy zbiór zawiera od 0 do 25 elementów. Przy czym kuleczki są dla Ciebie nierozróżnialne.
Powiedzmy że ustawiasz sobie te kuleczki w rzędzie:
\(\circ \circ \circ \circ \circ \circ \circ ... \circ\)
Podział na zbiory będzie polegał na wylosowaniu 3 miejsc w których postawisz przegródki między kuleczkami. Np:
\(\circ \circ \circ \circ \circ \bez \circ \circ \circ \circ \bez \circ \circ \circ \circ \ldots \circ \bez \circ \circ \circ \circ \circ \circ\)
to podział 25= 5 + 4 +10 + 6. A z kolei :
\(\bez \circ \circ \circ \circ \circ \circ \circ \circ \circ \circ \bez \circ \circ \circ \circ \circ \circ \circ \circ \bez \circ \circ \circ \ldots \circ\)
to podział 25 = 0 + 10 + 8 +7.
Zauważ że w każde miejsce między 2 kuleczkami możesz wstawić 1, 2, a nawet 3 przegródki, musisz jednak pamięteć o warunkach zadania.
Ogólnie masz 26 miejsc na wstawienie przegródek (1 przed kulaczkami, 1 na samym końcu rzędu kuleczek i 24 miejsca takie że przegródka jest między 2 kuleczkami). Do tego obok jednej przeródki możesz w to samo miejsce dać kolejną stąd 3 dodatkowe miejsca.
Więc 25 można zapisać na \({ {26+3} \choose {3} }\) sposobów. Wsród nich są jednak rozwiązania w których jedna z liczb może być większa od 10.
Rozwiazan w ktorych min jedna z liczb jest wieksza od 10 jest \({ {14+3} \choose {3} }\), bo rownianie a + b + c + d = 25, gdzie a>10 jest rownoważne (a1+11)+b+c+d=25, czyli a1+b+c+d=14.
Rozwiazan w ktorych min 2 z liczb jest wiekszych od 10 jest \({ {3+3} \choose {3} }\) bo rownianie a + b + c + d = 25, gdzie a>10 oraz b > 10 jest rownoważne (a1+11)+(b1+11)+c+d=25, czyli a1+b1+c+d=3.
Stad mamy: 4 + \({ {26+3} \choose {3} }\) - (\({ {14+3} \choose {3} }\) - \({ {3+3} \choose {3} }\) )