ciąg określony rekurencyjnie

[ohReally]

Witam,
Potrzebuję obliczenia do zadania :
Dany jest ciąg określony rekurencyjnie :

\(a_{n}=\begin{cases}
2&\text{dla }n = 1\\
\frac{n}{n+1} \cdot a_{n}-1, &\text{dla }n > 1
\end{cases}\)

Proszę obliczyć 5 pierwszych wyrazów tego ciągu. Następnie zaproponować wzór ogólny ciągu i udowodnić
go przy użyciu indukcji matematycznej


Dziękuje bardzo za pomoc

[ohReally]

Mały błąd zamiast + miał być -

\(a_{n}=\begin{cases}
2&\text{dla }n = 1\\
\frac{n}{n-1} \cdot a_{n}-1, &\text{dla }n > 1
\end{cases}\)

Proszę obliczyć 5 pierwszych wyrazów tego ciągu. Następnie zaproponować wzór ogólny ciągu i udowodnić
go przy użyciu indukcji matematycznej


D

[panb]

\(a_2= \frac{2}{2-1} \cdot a_1-1=2 \cdot 2-1=3\\
a_3= \frac{3}{3-1} \cdot a_2-1 =1,5 \cdot 3-1=3,5\)
dalej dasz radę, co nie?

[kerajs]

Sądzę że tam miało być:
\(a_{n}=\begin{cases}
2&\text{dla }n = 1\\
\frac{n}{n-1} \cdot a_{n-1}, &\text{dla }n > 1
\end{cases}\)
Wtedy:
\(a_2=4\\
a_3=6\\
a_4=8\\
a_5=10\)
Zakładam że \(a_n=2n\)
\(n=k:\\
a_k=2k\\
n=k+1:\\
a_{k+1}=2(k+1)\\
L=a_{k+1}= \frac{k+1}{k} \cdot a_k= \frac{k+1}{k} \cdot 2k=2(k+1)=P\)

Ale lepiej abym się mylił i wtedy poćwicz to co sugeruje panb

[ohReally]

Sądzę że tam miało być:
\(a_{n}=\begin{cases}
2&\text{dla }n = 1\\
\frac{n}{n-1} \cdot a_{n-1}, &\text{dla }n > 1
\end{cases}\)
Wtedy:
\(a_2=4\\
a_3=6\\
a_4=8\\
a_5=10\)
Zakładam że \(a_n=2n\)
\(n=k:\\
a_k=2k\\
n=k+1:\\
a_{k+1}=2(k+1)\\
L=a_{k+1}= \frac{k+1}{k} \cdot a_k= \frac{k+1}{k} \cdot 2k=2(k+1)=P\)

Ale lepiej abym się mylił i wtedy poćwicz to co sugeruje panb

Faktycznie mój błąd z \(a_{n-1}\) tak jest prawidłowo, ale jak to rozpisać na przykładzie \(a_{2}\) że = 4 a nie 3

[radagast]

ale jak to rozpisać na przykładzie \(a_{2}\) że = 4 a nie 3

\(a_{n}=\begin{cases}
2&\text{dla }n = 1\\
\frac{n}{n-1} \cdot a_{n-1}, &\text{dla }n > 1
\end{cases}\)
czyli
\(a_{n}=\begin{cases}2&\text{dla }n = 1\\

\frac{2}{2-1} \cdot 2, &\text{dla }n =2
\end{cases}\)
czyli
\(a_{n}=\begin{cases}2&\text{dla }n = 1\\

4, &\text{dla }n =2
\end{cases}\)