Dowód w teorii grup oraz zadanie obliczeniowe.

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kamyk2222
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 27
Rejestracja: 10 lis 2018, 00:53
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Dowód w teorii grup oraz zadanie obliczeniowe.

Post autor: kamyk2222 »

Witam, w trakcie powtórek do kolokwium pojawiły się dwa zadania ze zbiorów, których nie potrafię do końca zrobić samemu z pełnym zrozumieniem. W pierwszym poradziłem sobie z superpozycją, lecz dwa następne podpunkty sprawiają mi problem i porównując moje rozwiązania z sugerowanymi przez wykładowcę odpowiedziami to wygląda jakbym robił inne zadanie.. Natomiast drugie to jedno z tych zadań, co do których po prostu potrzebuję wskazówkę jak formalnie to zapisać.
Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

1.W grupie wszystkich bijekcji \((B( \rr ), \circ )\) zbioru liczb rzeczywistych rozważmy dwa elementy \(f\) i \(g\).
\(\forall x \in \rr \ f(x)=2x+1\) oraz \(g(x) = x^{3}\)
Oblicz \(f \circ g\) i \(g \circ f\), znajdź elementy odwrotne do \(f\) i \(g\) w grupie \((B( \rr ), \circ )\) na koniec zakończ zadanie i rozwiąż równania \(f \circ u = g\) oraz \(u \circ f = g\) z niewiadomą \(u\).

2. Niech \((G, \circ )\) będzie grupą z elementem neutralnym e. Wykaż, że:
a) element \(a \in G\) spełnia warunek \(a \circ a = a\) wtedy i tylko wtedy gdy \(a = e\),
b) jeżeli \(a,b \in G\) są takimi elementami, że \(a^{2} = e\) i \(b^{2} = e\) to \((a \circ b)^{2} =e\) wtedy i tylko wtedy gdy \(a \circ b = b \circ a\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

ad 1
  • \(f \circ u=g \So u=f^{-1} \circ g\\
    f^{-1}(x)= \frac{1}{2} x- \frac{1}{2} \So u= \frac{1}{2} x^3- \frac{1}{2}\)
Łatwo sprawdzić składając, że jest OK (składać umiesz, no nie?)

\(u \circ f=g \So u=g \circ f^{-1}\\\) - spróbuj samodzielnie.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

ad 2a)
\(\So \\
\qquad a=e \So a \circ a=e \circ e=e\\
\Leftarrow\\
\qquad a \circ a=a \iff (a \circ a) \circ e=a \iff a \circ (a \circ e)=a \iff a \circ e=e \So e=a \iff a=e\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

ad 2b)
\(\Leftarrow \text{Zał. }:\,\,\, a^2=e \wedge b^2=e \wedge a \circ b=b \circ a\\
\qquad (a \circ b)^2=(a \circ b) \circ (a \circ b)=a \circ (b \circ a) \circ b=a \circ (a \circ b) \circ b=a^2 \circ b^2=e\\
\So \text{Zał.: } \,\,\, a^2=e \wedge b^2=e \wedge (a \circ b)^2=e\\
\qquad (a \circ b)^2=e \iff a \circ (a \circ b)^2 \circ b=a \circ e \circ b=a \circ b \iff \\
\qquad\iff (a \circ a) \circ b \circ a \circ (b \circ b)=a \circ b \iff a^2 \circ (b \circ a) \circ b^2=a \circ b \So b \circ a=a \circ b\)


Jest tu parę skrótów, bo pisanie tego w LaTeXu to dość meczące zadanie. :)
Mam nadzieję, że prześledzisz i zrozumiesz ...
kamyk2222
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 27
Rejestracja: 10 lis 2018, 00:53
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re:

Post autor: kamyk2222 »

panb pisze:ad 2b)
\(\Leftarrow \text{Zał. }:\,\,\, a^2=e \wedge b^2=e \wedge a \circ b=b \circ a\\
\qquad (a \circ b)^2=(a \circ b) \circ (a \circ b)=a \circ (b \circ a) \circ b=a \circ (a \circ b) \circ b=a^2 \circ b^2=e\\
\So \text{Zał.: } \,\,\, a^2=e \wedge b^2=e \wedge (a \circ b)^2=e\\
\qquad (a \circ b)^2=e \iff a \circ (a \circ b)^2 \circ b=a \circ e \circ b=a \circ b \iff \\
\qquad\iff (a \circ a) \circ b \circ a \circ (b \circ b)=a \circ b \iff a^2 \circ (b \circ a) \circ b^2=a \circ b \So b \circ a=a \circ b\)


Jest tu parę skrótów, bo pisanie tego w LaTeXu to dość meczące zadanie. :)
Mam nadzieję, że prześledzisz i zrozumiesz ...
Dzięki, dziś spróbuję to wszystko zrobić jeszcze raz samemu.
ODPOWIEDZ