Wykazać indukcyjnie

[zaqws]

a) Wykazać, że dla \(n \in \nn\) zachodzi wzór: \(\frac{1}{1*2} + \frac{1}{3*4} + ... + \frac{1}{(2n-1)2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}\).
b) Wykazać, że dla \(n \in \nn\) oraz \(x \in \left\langle 0, 1 \right\rangle\) zachodzi nierówność: \({(1-x)^n \le 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 }\).

[radagast]

a) Wykazać, że dla \(n \in \nn\) zachodzi wzór: \(\frac{1}{1*2} + \frac{1}{3*4} + ... + \frac{1}{(2n-1)2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}\).

dla n=1:
\(\frac{1}{1+n} = \frac{1}{n+1}\) OK
zał ind:
\(\exists n \in N :\ \ \frac{1}{1*2} + \frac{1}{3*4} + ... + \frac{1}{(2n-1)2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{2n}\)
teza:\(\frac{1}{1*2} + \frac{1}{3*4} + ... + \frac{1}{(2n-1)2n} + \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + ... + \frac{1}{2n+2}\)
dowód
\(L=\frac{1}{1*2} + \frac{1}{3*4} + ... + \frac{1}{(2n-1)2n} + \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} =\\
\frac{1}{1*2} + \frac{1}{3*4} + ... + \frac{1}{(2n-1)2n} + \frac{1}{2(2n+1)(n+1)} =^{zał\ ind}=\\
\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ...+ \frac{1}{2n} + \frac{1}{2(2n+1)(n+1)}=\\
\frac{1}{n+2} + ...+ \frac{1}{2n} + \frac{1}{2(2n+1)(n+1)}+ \frac{1}{n+1} =\\
\frac{1}{n+2} + ...+ \frac{1}{2n} + \frac{4n+2}{2(2n+1)(n+1)}=\\
\frac{1}{n+2} + ...+ \frac{1}{2n} + \frac{1}{2(n+1)}=P\)
cbdo

[radagast]

b) Wykazać, że dla \(n \in \nn\) oraz \(x \in \left\langle 0, 1 \right\rangle\) zachodzi nierówność: \({(1-x)^n \le 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 }\).

dla n=1
\(x-1 \le x-1\) ok
zał ind: \(\exists n \in N : dla\ \ x \in \left\langle 0, 1 \right\rangle \ \ \ zachodzi\ \ \ {(1-x)^n \le 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 }\)
teza:
\(dla\ \ x \in \left\langle 0, 1 \right\rangle \ \ \ zachodzi\ \ \ {(1-x)^{n+1} \le 1 - (n+1)x + \frac{(n+1)n}{2}x^2 }\)
dowód:
\(L=(1-x)^{n+1} = (1-x)^{n} (1-x) \le^{zał \ ind} \le 1 - nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 \cdot (1-x)=\\
1 - nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2-x + nx^2 - \frac{n(n-1)}{2}x^3=\\
1 - (n+1)x +\left(\frac{n(n-1)}{2}+n \right) x^2 - \frac{n(n-1)}{2}x^3=\\
1 - (n+1)x +\frac{n(n+1)}{2} x^2 - \frac{n(n-1)}{2}x^3 \le 1 - (n+1)x +\frac{n(n+1)}{2} x^2 =P\)
cbdo