Grupy - sprawdzenie podgrupy, wewnętrzność działania.

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kamyk2222
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 27
Rejestracja: 10 lis 2018, 01:53
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Grupy - sprawdzenie podgrupy, wewnętrzność działania.

Post autor: kamyk2222 » 19 lis 2018, 20:05

Witam, rozwiązuję zadania z grup. Mam podanych kilkanaście przykładów, w pierwszej kolejności mam sprawdzić czy działanie \(\circ\) jest działaniem wewnętrznym, z tym poszło mi w miare okej. Następnie, jeżeli stwierdziłem wewnętrzność takiego działania, mam sprawdzić czy para \((G, \circ )\) jest grupą oraz czy jest wtedy podgrupą \((R, +)\) lub \((R \bez 0, \cdot )\).

Dla przykładu pierwszego:
Dla \(G = Q, \ \forall x,y \ \in G \ , x \circ y = x + y\)
Działanie jest wewnętrzne. \((G, \circ )\) jest grupą (sprawdziłem łączność, przemienność i istnienie elementu odwrotnego). I teraz, jak sprawdzić czy jest podgrupą jednej z grup z polecenia?
Zrobiłem to tak:
\((R,+)\) to grupa. \(G \subset R.\) Sprawdzam, czy \((G,+)\) to grupa (na podstawie kilku przykładów, które sprawdziłem, ale jak to formalnie zapisać?) , stwierdzam że jest grupą, zatem\((G, \circ )\)jest podgrupą grupy \((R, +).\) \(G\) nie zawiera się w \(R \bez 0\), zatem grupa \((G, \circ )\) nie jest pogrupą grupy \((R \bez 0, \cdot )\).

Wszystko powyżej jest w porządku? Czy brakuje jakiegoś warunku sprawdzającego to czy jest podgrupą?

\(G = Q+, \ \forall x,y \ \in G \ , x \circ y = x \cdot y\) Jak wykonać to zadanie w odniesieniu do tego przykładu?

Dziękuję z góry za wszelką pomoc.
Ostatnio zmieniony 19 lis 2018, 20:32 przez kamyk2222, łącznie zmieniany 1 raz.

kamyk2222
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 27
Rejestracja: 10 lis 2018, 01:53
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Post autor: kamyk2222 » 19 lis 2018, 20:26

3. Dla liczby naturalnej n niech \(P(n) = {1,2, ...., n}\) oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych n. Permutacją zbioru \(P(n)\) nazywamy każdą bijekcię tego zbioru. Permutację \(f : P(n) \to P(n)\) zapisujemy w postaci:
\begin{bmatrix}1& 2&...& n \\ f(1)&f(2)&...&f(n) \end{bmatrix}

Niech \(Sn\) oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru \(P(n)\). Wykonaj działania w grupie \((S4, \circ )\):
\begin{bmatrix}1& 2&3& 4 \\4&1&3&2 \end{bmatrix} do potęgi -1.

Tutaj już ostatnie zadanie, w temacie są razem trzy. Pozdrawiam.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 19 lis 2018, 21:26

ad 3
A działanie \(\circ\) jak się określa?

kamyk2222
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 27
Rejestracja: 10 lis 2018, 01:53
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re:

Post autor: kamyk2222 » 19 lis 2018, 21:31

panb pisze:ad 3
A działanie \(\circ\) jak się określa?
Pierwszy przykład w ad. 3 jest dany następująco:
\begin{bmatrix}1& 2&3& 4 \\3&1&4&2 \end{bmatrix} \(\circ\) \begin{bmatrix}1& 2&3& 4 \\4&2&3&1\end{bmatrix}
Właśnie w tym co podałem myślałem, że to ja coś źle rozumiem, a to jednak chyba jakiś błąd musi być.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Re: Re:

Post autor: panb » 19 lis 2018, 21:47

\(\begin{bmatrix}1& 2&3& 4 \\3&1&4&2 \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix}1& 2&3& 4 \\4&2&3&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2 \end{bmatrix}\)
To działa tak: \(1 \to 3 ,\quad 3 \to 3 \So 1 \to 3\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 19 lis 2018, 21:52

Wobec tego \(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&3&2\end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&4&3&1\end{bmatrix}\)

kamyk2222
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 27
Rejestracja: 10 lis 2018, 01:53
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Post autor: kamyk2222 » 19 lis 2018, 22:44

W pewnych przypadkach zauważam jakąś analogię, ale mógłbyś jakoś to objaśnić dodatkowo? (wiem, że to pewnie banalne)
Dzięki za dotychczasowe odpowiedzi i proszę jeszcze o sprawdzenie tego pierwszego z mojego głównego posta.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Post autor: panb » 20 lis 2018, 12:15

Co do pierwszego posta, to nie wiem jak to zrobić.
Co do elementu odwrotnego, to \(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&3&2\end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&4&3&1\end{bmatrix}\), bo jak złożysz \(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&4&3&1\end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&3&2\end{bmatrix}\), to sprawdź co wyjdzie.
Przypominam to działa tak:
  • pierwsza permutacja przeprowadza \(1 \to 2\), druga \(2 \to 1\), więc złożenie przeprowadzi \(1 \to 1\).
Sprawdź resztę.

kamyk2222
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 27
Rejestracja: 10 lis 2018, 01:53
Podziękowania: 13 razy
Płeć:

Post autor: kamyk2222 » 22 lis 2018, 00:28

Okej, dzięki za pomoc. Ktoś mógłby przyjrzeć się pierwszym dwóm podpunktom i sprawdzić to moje rozumowanie? (te podgrupy itd.)