Teoria zbiorów.

[kamyk2222]

Witam, zacząłem teorię zbiorów, mam problem z kilkoma przykładami.

1. Narysuj zbiory \(A, B, A \cap B, A \cup B, A \bez B, B \bez A, A \times B\):
a) \(A = x \in [0,2 \pi]: \frac {1}{sin^{2}x} \ge 2, B = x \in \rr : | x-2 | \le 2\),
b) \(A = { x \in \rr : \exists y \in R x^{2} + y^{2} = 1 }, B = { x \in \rr: \forall y \in \rr, xy = 0}\)

2. Niech \(X = {1,2,3}\). Wyznacz wszystkie ciągi \((A,B,C)\) podzbiorów zbioru X takie, że \(\emptyset \neq A \subset B \subset C\) i zbiory \(A, B, C\) są parami różne.

[panb]

1a)

• \(\frac{1}{sin^2x}\ge 2 \wedge x\in[0,2\pi] \iff 0< \sin^2x \le \frac{1}{2} \wedge x \in (0,\pi) \cup (\pi, 2\pi) \iff \\
  \iff - \frac{\sqrt2}{2}\le \sin x <0 \vee 0< \sin x \le \frac{\sqrt2}{2} \wedge x \in (0,\pi) \cup (\pi, 2\pi)\iff \\ \iff x\in (0, \frac{\pi}{4} ] \cup [\frac{3}{4}\pi, \pi) \cup (\pi, \frac{5}{4}\pi] \cup [ \frac{7}{4}\pi,2\pi)\)
  Ostatecznie
  • \(A=(0, \frac{\pi}{4} ] \cup [\frac{3}{4}\pi, \pi) \cup (\pi, \frac{5}{4}\pi] \cup [ \frac{7}{4}\pi,2\pi)\)
    \(B=[0,4]\)

[panb]

1b)

• \(A=[-1,1]\\ B=\{0\}\)

[Panko]

Zapewne \(\) \(X=\left\{1,2,3 \right\}\)
Warunkiem koniecznym sytuacji w zadaniu jest \(A= \left\{x \right\}\) , \(B= \left\{x,y \right\} , C=X\) , lub \(\) \(A= \left\{y \right\}\) , \(B= \left\{x,y \right\} , C=X\)
Teraz \(| B|= 3\) \(\) , \(B= \left\{1,2 \right\}\) ,\(B= \left\{3,2 \right\}\) ,\(B= \left\{1,3 \right\}\)
Wtedy z reguły mnożenia tych ciągów jest \(\) \(2 \cdot 3 \cdot 1 =6\)

[kamyk2222]

Wielkie dzięki, mam te zadania już za sobą dzięki wam.
Mam następnie do udowodnienia takie "coś":
1.\(A \cup B \subset A \cap B \So A = B\)
2.\(A \cap ( B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C)\)

Łatwiejsze przykłady z różnicą symetryczną potrafiłem sobie wytłumaczyć, ale do tych potrzebuje pomocy

[kamyk2222]

Nadal aktualne te dwa ostatnie przykłady, proszę o jakieś wskazówki :/

[panb]

skorzystaj z tautologii:

• (*) \(\quad p \So q \iff \sim p \vee q\)

\(A \cup B \subset A \cap B \iff (x\in A \vee x\in B) \So (x\in A \wedge x\in B) {(*) \atop \iff } \sim(x\in A \vee x\in B) \vee (x\in A \wedge x\in B) \iff \\
\iff \left( \sim x\in A \, \wedge \sim x\in B\right) \vee (x\in A \wedge x\in B) \iff \\ \iff \left( \sim x\in A \, \wedge \sim x\in B\right) \vee \left(\sim x \in A \wedge x\in A \right) \vee \left( \sim x \in B \wedge x\in B\right) \vee (x\in A \wedge x\in B) \iff \\ \iff \left( \sim x\in A \vee x \in B\right) \wedge \left( \sim x\in B \vee x\in A \right) \iff \left(x\in A \So x \in B \right) \wedge \left( x\in B \So x \in A\right) \iff \\ \iff x\in A \iff x\in B \iff A=B\)

To strasznie dużo pisaniny ale z logiką tak już bywa. Na szczęście to mija.