zasada właczeń i wyłączeń

[rivit]

Witam,
mam problem z nastepujacym zadaniem:
Na ile sposobow rozsadzić trzy małżeństwa przy okrągłym stole, tak aby by nikt nie siedział obok swojego małżonka?

Skorzystac z zasady wlaczen i wylaczen.
Jak to ugryźć? Kompletnie nie wiem jak sie za to zabrać

[panb]

Opiszę sposób, ale nie daje gwarancji na obliczenia (szkoda, że nie masz odp.)
Niech Aa, Bc, Cc to będą te usadzane pary.

\(M_i\) - i-ta osoba siedzi obok swojego małżonka, \(i\in\{1,2,3\}\)

• Ilość ustawień, w których i-ta osoba siedzi obok swojego małżonka \(|M_i|=2 \cdot 4!, \,\,\, i=1,2,3\)
  uzasadnienie: sadzamy obok siebie parę (2 sposoby: Aa lub aA) pozostałe osoby siadają dowolnie (4! sposobów)

\(M_i \cap M_j\) - i-ta i j-ta osoba siedzą obok swojego małżonka, \(i,j \in \{1,2,3,\}\)

• Ilość ustawień, w których i-ta i j-ta osoba siedzą obok swojego małżonka \(|M_i \cap M_j|=4 \cdot 2!\)
  uzasadnienie: AaBb, AabB, aABb, aAbB (4 sposoby), reszta dowolnie (2! sposobów)

\(M_1 \cap M_2 \cap M_3\) - każdy siedzi obok swojego małżonka

• ilość ustawień, w których każdy siedzi obok swojego małżonka \(|M_1 \cap M_2 \cap M_3|=8 \cdot 3!\)
  uzasadnienie: niech \(\alpha=Aa,\,\, \beta=Bb,\,\, \gamma=Cc\), czyli rozpatrujemy każdą parę łacznie. Takie 3 pary możemy posadzić na 3! sposobów, ale w każdej parze może się zmienić kolejność na \(2^3=8\) sposobów.

No i teraz wkracza zasada włączeń i wyłączeń.
\(|M_1 \cup M_2 \cup M_3|\) to ilość ustawień, w których pierwsza lub druga lub trzecia para siedzą obok siebie.

\(|M_1 \cup M_2 \cup M_3|=|M_1|+|M_2|+|M_3|-|M_1 \cap M_2|-|M_1\cap M_3|-|M_2\cap M_3|+|M_1 \cap M_2 \cap M_3| =\\=3 \cdot 2 \cdot 4!-3 \cdot 4 \cdot 2!+8 \cdot 3!=168\)

Sytuacji, w których żadna para nie siedzi obok siebie jest \(6!-168=552\)

P.S. metoda jest na mur dobra, co do liczby poszczególnych przypadków nie mam całkowitej pewności - zalecam ostrożność i samodzielne przeliczenie .

[rivit]

Dziękuję!

Czyli tu jest policzone tak jakby na przeciwny przypadek? Liczbymy ile jest sposobów posadzenia "obok siebie" i odejmujemy od wszystkich sytuacji, tak?

[panb]

Tak. Ale pamiętaj o samodzielnej analizie.

[rivit]

Chociaż tak patrze teraz to dużo wydaje się. czy zostały tu policzone "obroty stołu"?


załóżmy że siedzą wkoło w kolejnosci aAbBcC, wszyscy przesiadaja sie o jedno miejsce w prawo i mamy CaAbBc , a to jest to samo, bo krzesła nie są rozróżnialne.

Co powiesz na to?

[panb]

Nie wiem. Jak już będziesz wiedział, to się podziel tutaj informacją - nie będziemy błądzić w przyszłości.