udowodnij

[Krystek97]

udowodnij następującą tożsamość
\(\sum_{ k=0 }^{ \infty } { n\choose k }\)*k=n*\(2^{n-1}\)
ma ktoś jakiś pomysł?

[kerajs]

udowodnij następującą tożsamość
\(\sum_{ k=0 }^{ \infty } { n\choose k }\)*k=n*\(2^{n-1}\)
ma ktoś jakiś pomysł?

Pomysł mam taki, że to nieprawdziwa zależność.
Może miało być:
\(\sum_{ k=0 }^{ n } { n\choose k } \cdot k=n \cdot 2^{n-1}\)
a wtedy pewnie można to zmielić indukcyjnie.

[Krystek97]

w zadaniu mam tak jak napisałem ale może jest błąd,a jak zrobic jak Ty to napisałeś?

[kerajs]

\(n=1\\
L= { 1\choose 0} \cdot 0+ { 1\choose 1} \cdot 1=1\\
P=1 \cdot 2^{1-1}=1 \cdot 2^0=1\\
n=2\\
L= { 2\choose 0} \cdot 0+ { 2\choose 1} \cdot 1+ { 2\choose 2} \cdot 2=4\\
P=2 \cdot 2^{2-1}=2 \cdot 2^1=4\\
Z:\\
\sum_{k=0}^{n} { n\choose k} \cdot k =n \cdot 2^{n-1}\\
T:\\
\sum_{k=0}^{n+1} { n+1\choose k} \cdot k =(n+1) \cdot 2^{n}\\
L= \sum_{k=0}^{n+1} { n+1\choose k} \cdot k = { n+1\choose 0} \cdot 0+ \sum_{k=1}^{n} { n+1\choose k} \cdot k + { n+1\choose n+1} \cdot (n+1)=\\=0+ \sum_{k=1}^{n} \left[ { n\choose k-1}+{ n\choose k}\right] \cdot k +n+1=
\left[ 0+ \sum_{k=1}^{n} { n\choose k} \cdot k \right] + \sum_{k=1}^{n} { n\choose k-1} \cdot (k-1+1)+n+1=\\=
n \cdot 2^{n-1}+ \sum_{k=1}^{n} { n\choose k-1} \cdot (k-1)+n+ \sum_{k=1}^{n} { n\choose k-1} +1=\\=
n \cdot 2^{n-1}+ \sum_{l=0}^{n} { n\choose 1} \cdot (l)+n+ \sum_{1=0}^{n} { n\choose l}=
n \cdot 2^{n-1}+n \cdot 2^{n-1}+ 2^{n}=n \cdot 2^{n}+ 2^{n}=\\=(n+1) 2^{n}=P\)