indukcja matematyczna

[Krystek97]

Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij
7|\(11^n-4^n\)
proszę o pomoc gdyż nwm jak to rozwiązać

[radagast]

Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij
7|\(11^n-4^n\)
proszę o pomoc gdyż nwm jak to rozwiązać

1) dla \(n=1\):
7|\(11^1-4^1 \iff 7|7\) OK
2) założenie indukcyjne:
\(\exists n \in N: \exists k \in C: 11^n-4^n=7k\)
teza:
\(\exists l \in C: 11^{n+1}-4^{n+1}=7l\)
Dowód:
\(L=11^{n+1}-4^{n+1}=11 \cdot 11^{n}-4 \cdot 4^{n}=11 \cdot 11^{n}-11 \cdot 4^{n}+7 \cdot 4^{n}=\\
11( 11^{n}- 4^{n})+7 \cdot 4^{n}=^{zał.\ ind.}=11 \cdot 7k+7 \cdot 4^{n}=7(11 \cdot k+ 4^{n})=7l=P\)
\((l=11 \cdot k+ 4^{n} \in C)\)
CBDO

[Krystek97]

dzięki,wszystko jasne