Dana jest rekurencyjna definicja ciągu. Znajdź wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu
\(a_0= 2, a_1=4, a_n= 2a_{n-1}+ 3a_{n-2}\)dla \(n>0\).
Ciąg rekurencyjny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
arctic55661
- Dopiero zaczynam
- Posty: 10
- Rejestracja: 13 gru 2017, 11:49
- Płeć:
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Niech \(a_n=\lambda^n\). Wtedy zależność \(a_n=2a_{n-1}+3_{n-2},\,\,\, n\ge2\) przyjmuje postać
\(\lambda^n=2\lambda^{n-1}+3\lambda^{n-2} \iff \lambda^{n-2} \left(-\lambda^2+2\lambda+3\right)=0 \So -\lambda^2+2\lambda+3 \iff \lambda=-1 \vee \lambda=3\)
Zatem \(a_n=A \cdot (-1)^n+B \cdot 3^n\)
Z warunku: \(a_0=2,\,\,\,a_1=4\) otrzymujemy układ równań \(\begin{cases}A+B=2\\-A+2B=4 \end{cases}\), którego rozwiązaniem są liczby \(A=\frac{1}{2},\,\,\, B=\frac{3}{2}\).
Odp.: \(a_n= \frac{1}{2}(-1)^n+ \frac{3}{2} \cdot 3^n=\frac{1}{2}(-1)^n+ \frac{1}{2}3^{n+1}= \frac{1}{2} \left[(-1)^n+3^{n+1} \right]\)
\(\lambda^n=2\lambda^{n-1}+3\lambda^{n-2} \iff \lambda^{n-2} \left(-\lambda^2+2\lambda+3\right)=0 \So -\lambda^2+2\lambda+3 \iff \lambda=-1 \vee \lambda=3\)
Zatem \(a_n=A \cdot (-1)^n+B \cdot 3^n\)
Z warunku: \(a_0=2,\,\,\,a_1=4\) otrzymujemy układ równań \(\begin{cases}A+B=2\\-A+2B=4 \end{cases}\), którego rozwiązaniem są liczby \(A=\frac{1}{2},\,\,\, B=\frac{3}{2}\).
Odp.: \(a_n= \frac{1}{2}(-1)^n+ \frac{3}{2} \cdot 3^n=\frac{1}{2}(-1)^n+ \frac{1}{2}3^{n+1}= \frac{1}{2} \left[(-1)^n+3^{n+1} \right]\)
