\(1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{1+n}< \sqrt{n+1}\)
Doszłam do tego i nie wiem co dalej:
\(\sqrt{n+1}+ \frac{1}{n+2}< \sqrt{n+2}\)
indukcja matematyczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
\(\frac{1}{n+2}< \sqrt{n+2}- \sqrt{n+1} \\
\frac{1}{n+2}< \frac{1}{ \sqrt{n+2}+ \sqrt{n+1}} \\
n+2> \sqrt{n+2}+ \sqrt{n+1}\\
n+2> 2\sqrt{n+2}> \sqrt{n+2}+ \sqrt{n+1}\\
(\sqrt{n+2})^2>2\sqrt{n+2}\\
\sqrt{n+2}>2\\
n+2>4\\
n>2\)
Chyba brakuje założenia gdyż:
\(n=1\\
L=1+ \frac{1}{1+1}=1,5\\
P= \sqrt{1+1}= \sqrt{2} \approx 1,414\\
L>P\)
\(n=2\\
L=1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} \approx 1,83333\\
P= \sqrt{2+1}= \sqrt{3} \approx 1,732\\
L>P\)
Udowadniany wzór jest prawdziwy dla n naturalnych i większych od 2. To założenie powinno być w treści zadania.
\frac{1}{n+2}< \frac{1}{ \sqrt{n+2}+ \sqrt{n+1}} \\
n+2> \sqrt{n+2}+ \sqrt{n+1}\\
n+2> 2\sqrt{n+2}> \sqrt{n+2}+ \sqrt{n+1}\\
(\sqrt{n+2})^2>2\sqrt{n+2}\\
\sqrt{n+2}>2\\
n+2>4\\
n>2\)
Chyba brakuje założenia gdyż:
\(n=1\\
L=1+ \frac{1}{1+1}=1,5\\
P= \sqrt{1+1}= \sqrt{2} \approx 1,414\\
L>P\)
\(n=2\\
L=1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} \approx 1,83333\\
P= \sqrt{2+1}= \sqrt{3} \approx 1,732\\
L>P\)
Udowadniany wzór jest prawdziwy dla n naturalnych i większych od 2. To założenie powinno być w treści zadania.
