Kolejne zadanka z kombinatoryczkki

[lambdag]

1. Prostokąt podzielono na mniejsze prostokąty n poziomymi i k-1 pionowymi prostymi
prowadzonymi w równych odstępach. Iloma sposobami można dojść od jednego wierzchołka
prostokąta do przeciwległego mu, posuwając się po prostych liniach poziomo i pionowo tak,
aby suma odcinków przebytych była równa sumie odcinków na dwóch przyległych bokach
prostokąta? Narysować odpowiednią kratę dla n=3 i k=4. Nanieść na nią przykładową możliwą
drogę, a następnie napisać kodujący ją ciąg binarny.

2. Ile rozwiązań w liczbach całkowitych ma równanie x1 + x2 + x3 + x4 = 12 ,
a) jeśli xi > 0 dla każdego i = 1, 2, 3, 4 ?
b) jeśli xi ≥ 0 dla każdego i = 1, 2, 3, 4 ?

3. Ile jest liczb naturalnych między 1 a 999, które mają wszystkie cyfry większe od zera i których
suma cyfr wynosi 9?

z.2.
a) \({ 4-1+ 12 \choose 4-1 }\)
b)\({ 12-1\choose 4-1}\)

[lambdag]

w z.3 chyba muszę zastosować wzór sylwestra, tylko nie bardzo czaje..

[panb]

zadanie 2
a) przypuśćmy, że mamy 12 kul z numerem 1 i cztery szuflady do których je wkładamy. Wkładamy po jednej kuli do każdej szuflady, żeby uniknąć pustych (\(x_i>0\)). Pozostałe 12-4=8 kul rozmieszczamy w szufladach.
Oto jak to można to zrobić:
(8,0,0,0) ........... 1 możliwość
--------------------------------------> 0+1=1
(7,1,0,0) ........... 3 możliwości
--------------------------------------> 1+2=3
(6,2,0,0) ........... 3 możliwości
(6,1,1,0) ........... 3 możliwości
--------------------------------------> 3+3=6
(5,3,0,0) ........... 3 możliwości
(5,2,1,0) ........... 6 możliwości
(5,1,1,1) ........... 1 możliwość
--------------------------------------> 6+4=10
(4,4,0,0) ........... 3 możliwości
(4,3,1,0) ........... 6 możliwości
(4,2,2,0) ........... 3 możliwości
(4,2,2,1) ........... 3 możliwości
--------------------------------------> 10+5=15
(3,5,0,0) ........... 3 możliwości
(3,4,1,0) ........... 6 możliwości
(3,3,2,0) ........... 6 możliwości
(3,3,1,1) ........... 3 możliwości
(3,2,2,1) ........... 3 możliwości
--------------------------------------> 15+6=21
(2,_,_,_) ---------------------------> 21+7=28
(1,_,_,_) ---------------------------> 28+8=36
(0,_,_,_) ---------------------------> 36+9=45

Zapis (3,2,2,1) oznacza \(x_1=3+1=4, \,\,x_2=2+1=3=x_3, \,\,x_4=1+1=2,\quad 4+3+3+2=12\)

Ilość możliwości to: \(1+3+6+10+15+21+28+36+45=165\)

Podpunkt b) można załatwić podobnym podejściem. Myślę, że nawet zadanie 3 da się tak rozwiązać.

[lambdag]

<up> nie mogę se tego wyobrazić
a) xi > 0 czyli jest to nieujemne
czyli jakbym sobie po prostu wziął 12 kółek
OOO OOO OOO OOO OOO -- oddzieliłem ję specjalnie spacja dla przejrzystości to teraz wstawiam sobie 3 kreseczki żeby mieć do tych 4 równań odpowiedzi..
OOO|OOO|OOO|OOO|OOO
no i mam x1 = 3 x2= 3 x3 = 3 x4 = 3
no ale nie musi tak być bo może być gdzie indziej te kreseczki ale ogólnie te kreseczki mogą być tylko pomiędzy 0.0 (czyli gdzie kropka) czyli jest takich 11 miejsc no i wybieram tylko te 3 czyli ogólnie
\({11 \choose 3}\)
i wynik jest taki sam

[lambdag]

zad.3 Coś mi przyszło do głowy dzięki postu Pana Eksperta wykorzystania tego samego czyli x1+x2+x3=9
Tu taki sam mam warunek nie może być x1=x2=x3=0 czyli:
1.Dla liczb trzycyfrowych
x1+x2+x3 = 9
czyli { 8\choose2 }
2.Dla liczb dwucyfrowych
x1+x2 = 9
czyli { 8\choose1 }
3.Dla liczb jednocyfrowych = 9.
czyli jedna liczba

Teraz to sumuje i mam 37.
No i czekam na Panów Ekspertów
a zad.
2.
b) czyli dochodzi 0
x1+x2+x3+x4 = 12
000 000 000 000
Musze wstawić sobie 3 kreseczki żeby mieć 4 pola czy odpowiedz na x1 x 2 x3 x4, ale mogę mieć pole || czyli zerowe, czyli teraz będę miał 11+4 sposoby na wybór kreseczek bo mogę koło kreseczek stawiać kreseczki
Odp.
\({15 \choose 3}\)

[kerajs]

Nie jestem ekspertem, ale mogę potwierdzić wyniki.
2)
a) \({ 12-1\choose 4-1}\)
b) \({ 4+12-1\choose 4-1}\)
3)
\({8 \choose 0}+ {8 \choose 1}+ {8 \choose 2}\)
1)
ilość dróg złożonych z k odcinków poziomych i n+1 pionowych
\(\frac{(k+n+1)!}{k!(n+1)!}\)