Dowód - indukcja.

[dytr]

Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej:

\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+ ... +\frac{1}{n\cdot(n+1)}=\frac{n}{n+1}\)

Próbowałem robić to w następujący sposób:
Obliczałem wartość dla kolejnego wyrazu (n+1) i uzyskałem poniższą postać

\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+ ... +\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}\)

Następnie zapisuję fragment: \(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+ ... +\frac{1}{n(n+1)}\) jako \(\frac{n}{n+1}\)

I doszedłem do następującego wniosku:

\(\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}\)

Później nie mogę sobie poradzić z udowodnieniem tego, że L=P. Gdzie popełniłem błąd w moich założeniach/obliczeniach? Jeżeli jednak założenia są poprawne, jakie działania powinienem teraz wykonać, aby dało się to udowodnić?

[kerajs]

Udowodnij za pomocą indukcji matematycznej:

\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+ ... +\frac{1}{n\cdot(n+1)}=\frac{n}{n+1}\)

Próbowałem robić to w następujący sposób:
Obliczałem wartość dla kolejnego wyrazu (n+1) i uzyskałem poniższą postać

\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+ ... +\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}\)

Raczej
\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+ ... +\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}\)
Wtedy:
\(L=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+ ... +\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}=P\)