Rozpisz wyrażenie (x+2y+3z)^4 i podaj współczynnik przy x^

[zwolo1711]

Cześć,
Mam pytanko do jednego zadanka.

Rozpisz wyrażenie \((x+2y+3z)^4\) i podaj współczynnik przy \(x^2yz\)

Robię to w ten sposób ze wzoru

\(\sum_{n}^{k=0} ( { n\choose k } a^k b^{n-k}\)
no i podstawiam
\(x=a\\
2y+3z=b\)

(\(x+b)^4 = ( { 4\choose 0 } x^0 * b^4 + ( { 4\choose 1 } x^1 * b^3 + ( { 4\choose 2 } x^2 * b^2 + ( { 4\choose 3 } x^3 * b^1 + ( { 4\choose 4 } x^4 * b^0 =\)i tyle tylko co z tym b ?
wypisywać ciąg dalszy
dla \((2y+3z)^4\) ?
i jak podać ten współczynnik ?

[kerajs]

Prawie OK, prócz końcówki. Masz przecież :
\({4 \choose 2} x^2b^2= {4 \choose 2} x^2(2x+3z)^2= {4 \choose 2} x^2 \left[ ...+ { 2\choose 1} 2y3z+...\right]\)
Szukany współczynnik to: \({4 \choose 2} {2 \choose 1} \cdot 2 \cdot 3=...\)

[zwolo1711]

[...+(21)2y3z+...] skąd wzięło się to ? po rozpisaniu (2y+3z)^4 wychodzi mi coś innego

[kerajs]

\((x+2y+3z)^4= { 4 \choose 0 } x^4+{ 4 \choose 1 } x^3(2y+3z)+ { 4 \choose 2 } x^2(2y+3z)^2 +{ 4 \choose 3 } x(2y+3z)^3+{ 4 \choose 1 } (2y+3z)^4\)
Gdzie występuje czynnik \(x^2\) ? Tylko w trzecim (!) wyrazie rozwinięcia.
Dlatego interesuje Cię tylko:
\({ 4 \choose 2 } x^2 \cdot (2y+3z)^2={ 4 \choose 2 } x^2 \cdot \left( { 2 \choose 0 } (2y)^2+ { 2 \choose 1 } (2y)(3z) +{ 2 \choose 2 } (3z)^2\right)\)
Ponieważ masz znaleźć współczynnik przy \(x^2yz\) to interesuje Cię tylko fragment:
\({ 4 \choose 2 } x^2 \cdot \left( ...+ { 2 \choose 1 } (2y)(3z) +...\right)=6x^2 \cdot 2 \cdot 6yz=72x^2yz\)