Liczby względnie pierwsze

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
takamatematyka
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 44
Rejestracja: 23 maja 2016, 10:47
Podziękowania: 21 razy
Płeć:

Liczby względnie pierwsze

Post autor: takamatematyka » 31 lip 2017, 20:12

Udowodnij, że jeśli NWD(m,n)=1, to NWD(mn,m+n)=1
m, n całkowite

z góry dziękuję za pomoc :)

radagast
Guru
Guru
Posty: 17025
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 27 razy
Otrzymane podziękowania: 7183 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 03 sie 2017, 08:39

Dowód nie wprost (przez zaprzeczenie):

załóżmy, że liczby \(mn\) oraz \(m+n\) nie są względnie pierwsze,
czyli mają wspólny dzielnik \(k\) będący liczbą pierwszą.
\(k|mn \So k|m \vee k|n\) (bo \(k\) jest liczbą pierwszą) wtedy,
wobec faktu,że \(k|m+n\) ( bo \(k\) jest wspólnym dzielnikiem),
\(k\) musi również dzielić \(n\) zatem liczby \(m\), \(n\) nie były względnie pierwsze
ckd