Udowodnij, że jeśli NWD(m,n)=1, to NWD(mn,m+n)=1
m, n całkowite
z góry dziękuję za pomoc
Liczby względnie pierwsze
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 47
- Rejestracja: 23 maja 2016, 10:47
- Podziękowania: 22 razy
- Płeć:
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Dowód nie wprost (przez zaprzeczenie):
załóżmy, że liczby \(mn\) oraz \(m+n\) nie są względnie pierwsze,
czyli mają wspólny dzielnik \(k\) będący liczbą pierwszą.
\(k|mn \So k|m \vee k|n\) (bo \(k\) jest liczbą pierwszą) wtedy,
wobec faktu,że \(k|m+n\) ( bo \(k\) jest wspólnym dzielnikiem),
\(k\) musi również dzielić \(n\) zatem liczby \(m\), \(n\) nie były względnie pierwsze
ckd
załóżmy, że liczby \(mn\) oraz \(m+n\) nie są względnie pierwsze,
czyli mają wspólny dzielnik \(k\) będący liczbą pierwszą.
\(k|mn \So k|m \vee k|n\) (bo \(k\) jest liczbą pierwszą) wtedy,
wobec faktu,że \(k|m+n\) ( bo \(k\) jest wspólnym dzielnikiem),
\(k\) musi również dzielić \(n\) zatem liczby \(m\), \(n\) nie były względnie pierwsze
ckd