Zadania pomocy

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Klasyczny
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 119
Rejestracja: 07 lis 2015, 18:41
Podziękowania: 59 razy
Płeć:

Zadania pomocy

Post autor: Klasyczny »

1.Udowodnić twierdzenie dla każdej wartości n przez indukcje matematyczna
(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+...+(4n-1)=3n\(^2\)
2. Znaleźć największy współczynnik w rozwinięciu wyrażania (a+b+c)\(^{10}\)
3. Sprawdzić czy równość jest prawdziwa czy falszywa (2n)!=O(n!)
4.Znalezc funkcje tworząca dla ciągu F(n), znając funkcje tworząca ciągu f(n)
F(n) = f(n+1),n=0,1,2...
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

ad 4.
Niech \(\varphi(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }f(n)x^n\) będzie funkcją tworzącą ciągu \(f(n)\).
\(\Phi(x)= \sum_{n=0}^{ \infty }F(n)x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }f(n+1)x^n= \sum_{n=1}^{ \infty } f(n)x^{n-1}= \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{ \infty } f(n)x^{n}\)
Zatem \(\Phi(x)= \frac{1}{x} \left( \sum_{n=0}^{ \infty } f(n)x^{n} -f(0)\right)= \frac{\varphi(x)-f(0)}{x}\)

ad 3. Co oznacza u ciebie symbol O(n!)?

ad 2. Nie mam pomysłu

ad 1.
dla n=1: \(2 \cdot 1+1=3=3 \cdot 1^2\) - twierdzenie jest prawdziwe
Załóżmy prawdziwość dla n, czyli zakładamy, że \((2n+1)+(2n+3)+\ldots+(4n-1)=3n^2\)
Dla n+1, twierdzenie ma postać: \((2n+3)+(2n+5)+\ldots+(4n+3)=2(n+1)^2\) i to trzeba udowodnić.
  • \((2n+3)+(2n+5)+\ldots+(4n+3)= \\=
    \left[(2n+1)+(2n+3)+\ldots+(4n-1) \right] -(2n+1)+(4n+1)+(4n+3)=\\
    = 3n^2-2n-1+4n+1+4n+3=3n^2+6n+3=3(n^2+2n+1)=3(n+1)^2\)

    C.N.D.
ODPOWIEDZ