Znalazłem oryginalne rozwiązanie w zbiorze zadań, ale jest opisane tak skrótowo że umyka mi dlaczego liczymy to w sposób przez nich zaproponowany i jak w ogóle na niego wpaść. Byłbym wdzięczny za możliwe proste rozwiązanie.
\(\sqrt[n]{n} \le 1+ \sqrt{2/n}\)
Wykaż nierówność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Nie wiem jaki sposób na tę nierówność znalazłeś, ale może to trafi ci do przekonania:
Z dwumianu Newtona mamy
\(\left( 1+\sqrt{ \frac{2}{n} }\right)^n={n\choose0}1^n \left( \sqrt{ \frac{2}{n} }\right)^0+{n\choose 1}1^{n-1} \left( \sqrt{ \frac{2}{n} }\right) ^1+{n\choose 2}1^{n-2} \left( \sqrt{ \frac{2}{n} }\right) ^2+\ldots+{n \choose n}1^0 \left( \sqrt{ \frac{2}{n} }\right) ^n=\\
=1+n \sqrt{ \frac{2}{n} }+ \frac{n(n-1)}{2} \frac{2}{n} +\ldots=1+ \sqrt{2n}+n-1+\ldots \ge1+n-1=n\)
Reasumując: \(\left( 1+\sqrt{ \frac{2}{n} }\right)^n \ge n \So \sqrt[n]{n}\le 1+\sqrt{ \frac{2}{n} }\)
Z dwumianu Newtona mamy
\(\left( 1+\sqrt{ \frac{2}{n} }\right)^n={n\choose0}1^n \left( \sqrt{ \frac{2}{n} }\right)^0+{n\choose 1}1^{n-1} \left( \sqrt{ \frac{2}{n} }\right) ^1+{n\choose 2}1^{n-2} \left( \sqrt{ \frac{2}{n} }\right) ^2+\ldots+{n \choose n}1^0 \left( \sqrt{ \frac{2}{n} }\right) ^n=\\
=1+n \sqrt{ \frac{2}{n} }+ \frac{n(n-1)}{2} \frac{2}{n} +\ldots=1+ \sqrt{2n}+n-1+\ldots \ge1+n-1=n\)
Reasumując: \(\left( 1+\sqrt{ \frac{2}{n} }\right)^n \ge n \So \sqrt[n]{n}\le 1+\sqrt{ \frac{2}{n} }\)
