Funkcja tworząca ciągu

[Karol_2015]

Czy dobrze myślę, że ciąg
\(a_{n}=(2,3,4,5, ...)\)
Posiada funkcję tworzącą:
\(A(z) = \frac{2-z}{(1-z)^2}\)

[panb]

Niedobrze. \(A(z)= \frac{2z-z^2}{(1-z)^2}\)

[Karol_2015]

\(\sum_{0}^{\infty} nz^{n} + 2 \sum_{0}^{\infty} z^{n} = \frac{z}{(z-1)^{2}} + \frac{2}{1-z} = \frac{z+2-2z}{(1-z)^{2}}\)
Gdzie błąd?

[panb]

\(A(z)=2z^1+3z^2+4z^3+\ldots= \sum_{n=1}^{ \infty }(n+1)z^n= \sum_{n=1}^{ \infty } nz^n+ \sum_{n=1}^{ \infty }z^n=\\
=z \sum_{n=1}^{ \infty } nz^{n-1}+ \frac{z}{1-z}=z \left( \frac{1}{1-z} \right)'+ \frac{z}{1-z} = \frac{z}{(1-z)^2}+ \frac{z}{1-z}= \frac{2z-z^2}{(1-z)^2}\)

Jakby coś było niejasne - pytaj.

[Karol_2015]

U Ciebie funkcja tworząca zaczyna się od n=1, powinno być od n = 0;

[panb]

W takim razie miałeś dobrze. Ja przyjąłem, że ciąg zaczyna się od wyrazu \(a_1\).