pomocy, grupy

Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gollum
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 432
Rejestracja: 10 mar 2010, 13:05
Podziękowania: 339 razy

pomocy, grupy

Post autor: gollum »

Niech G=R \{-2} oraz dla każdego x,y należącego do G x o y =xy+2x+2y+2
element neutralny to -1
element odwrotny wyszedł mi \(\frac{-(2x+3)}{x+2}\)

a mam problem w : rozwiąż równanie \(x^2=7\)z niewiadomą x.
i czy istnieje rozwiązanie równania \(x^4=7\) znajdź je jeśli tak.
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: pomocy, grupy

Post autor: radagast »

gollum pisze:Niech G=R \{-2} oraz dla każdego x,y należącego do G x o y =xy+2x+2y+2
element neutralny to -1
element odwrotny wyszedł mi \(\frac{-(2x+3)}{x+2}\)

a mam problem w : rozwiąż równanie \(x^2=7\)z niewiadomą x.
Dobrze Ci wyszły elementy odwrotny i neutralny :)
I teraz :
\(x^2=x \circ x=x^2+2x+2x+2=x^2+4x+2\)
czyli równanie \(x^2=7\) to po prostu :\(x^2+4x+2=0\), a ono ma dwa pierwiastki : \(x_1=1\) oraz \(x_2=-5\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: pomocy, grupy

Post autor: radagast »

gollum pisze:Niech G=R \{-2} oraz dla każdego x,y należącego do G x o y =xy+2x+2y+2 czy istnieje rozwiązanie równania \(x^4=7\) znajdź je jeśli tak.
To jest nieco bardziej skomplikowane rachunkowo:
\(x^4=x \circ x \circ x \circ x=(...)=8x^3+24x^2+32x+14\) ( o ile nie pomyliłam się w rachunkach- sprawdź , trzeba to cierpliwie,kolejno policzyć)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: pomocy, grupy

Post autor: radagast »

Jeśli tak, to równanie \(x^4=7\) to "po prostu" :
\(x^4+8x^3+24x^2+32x+14=7\) czyli
\(x^4+8x^3+24x^2+32x+7=0\) , a takie rozwiązania ma
bo wykres funkcji \(f(x)=x^4+8x^3+24x^2+32x+7\) jest taki:
ScreenHunter_1526.jpg
ScreenHunter_1526.jpg (19.48 KiB) Przejrzano 2121 razy
ale znaleźć je nie jest łatwo. (Może jednak pomyliłam się w rachunkach ?)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Rachunki są ok.
Na szczęście \(x^4+8x^3+24x^2+32x+7=(x^2+4x+1)(x^2+4x+7)\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: pomocy, grupy

Post autor: panb »

radagast pisze:
gollum pisze:Niech G=R \{-2} oraz dla każdego x,y należącego do G x o y =xy+2x+2y+2 czy istnieje rozwiązanie równania \(x^4=7\) znajdź je jeśli tak.
To jest nieco bardziej skomplikowane rachunkowo:
\(x^4=x \circ x \circ x \circ x=(...)=8x^3+24x^2+32x+14\) ( o ile nie pomyliłam się w rachunkach- sprawdź , trzeba to cierpliwie,kolejno policzyć)
Można też skorzystać z łączności działania w grupie
  • \(x^4=x \circ x \circ x \circ x=(x \circ x) \circ (x \circ x)=(x^2+4x+2) \circ (x^2+4x+2)\)
Rachunki trochę prostsze się stają.
ODPOWIEDZ