rozwiąż równanie \(3 \cdot _8 x^2=7 \cdot _8x\) z niewiadomą x
czy ktoś mógłby mi pomóc? bądź rozpisać rozwiązanie tak bym mogła zrozumieć krok po kroku?
osobiście wolę zapis \(3 mod 8x^2 = 7mod 8x\) mam nadzięje że o to chodzi.
modulo
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
modulo
Wiadomo, że \((Z^+_8 , \cdot _8)\) jest grupą, w tej grupie
rozwiąż równanie \(3 \cdot _8 x^2=7 \cdot _8x\) z niewiadomą x
czy ktoś mógłby mi pomóc? bądź rozpisać rozwiązanie tak bym mogła zrozumieć krok po kroku?
osobiście wolę zapis \(3 mod 8x^2 = 7mod 8x\) mam nadzięje że o to chodzi.
rozwiąż równanie \(3 \cdot _8 x^2=7 \cdot _8x\) z niewiadomą x
czy ktoś mógłby mi pomóc? bądź rozpisać rozwiązanie tak bym mogła zrozumieć krok po kroku?
osobiście wolę zapis \(3 mod 8x^2 = 7mod 8x\) mam nadzięje że o to chodzi.
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Nie wiem, czy to prosty sposób, ale najbardziej podobny do "normalnego" rozwiązywania równań.
Pominę to modulo, ale rozumiemy, że wszystko odbywa się modulo 8.
\(3x^2\equiv7x \iff 3x^2-7x\equiv0 \iff x(3x-7)\equiv0 \iff x\equiv0 \vee 3x\equiv7\)
Zatem \(x\equiv0 \iff x=8k, \,\,\, k\in \zz\) jest jednym z rozwiązań.
Pozostaje rozwiązać równanie \(3x\equiv7\). Normalnie podzielilibyśmy obie strony przez 3, a dokładniej, pomnożylibyśmy przez odwrotność 3. Odwrotnością liczby 3 modulo 8 jest ... ? No właśnie. To taka liczba x, że \(3x\equiv1\). Nietrudno wydedukować, że \(x=3 (3 \cdot 3\equiv1)\). Zatem mnożymy obie strony przez 3. Otrzymujemy \(9x\equiv21\).
Teraz, aby dobrać się do x, odejmujemy od lewej strony 8x (\(8x\equiv0)\), a od prawej 16 (\(16=2\cdot8\equiv0\)).
Dostajemy \(x\equiv5 \iff x=8k+5\)
Reasumując. Rozwiązaniem równania \(3x^2\equiv7x\) jest \(x=8k,\,\,\, \text{ lub } \,\,x=8k+5, \,\,\, \text{ gdzie } k\in \zz\)
Łatwo sprawdzić, że to się zgadza (ja sprawdziłem, ty też spróbuj).
Pominę to modulo, ale rozumiemy, że wszystko odbywa się modulo 8.
\(3x^2\equiv7x \iff 3x^2-7x\equiv0 \iff x(3x-7)\equiv0 \iff x\equiv0 \vee 3x\equiv7\)
Zatem \(x\equiv0 \iff x=8k, \,\,\, k\in \zz\) jest jednym z rozwiązań.
Pozostaje rozwiązać równanie \(3x\equiv7\). Normalnie podzielilibyśmy obie strony przez 3, a dokładniej, pomnożylibyśmy przez odwrotność 3. Odwrotnością liczby 3 modulo 8 jest ... ? No właśnie. To taka liczba x, że \(3x\equiv1\). Nietrudno wydedukować, że \(x=3 (3 \cdot 3\equiv1)\). Zatem mnożymy obie strony przez 3. Otrzymujemy \(9x\equiv21\).
Teraz, aby dobrać się do x, odejmujemy od lewej strony 8x (\(8x\equiv0)\), a od prawej 16 (\(16=2\cdot8\equiv0\)).
Dostajemy \(x\equiv5 \iff x=8k+5\)
Reasumując. Rozwiązaniem równania \(3x^2\equiv7x\) jest \(x=8k,\,\,\, \text{ lub } \,\,x=8k+5, \,\,\, \text{ gdzie } k\in \zz\)
Łatwo sprawdzić, że to się zgadza (ja sprawdziłem, ty też spróbuj).