Rozwiąż równanie rekurencyjne

[Karol_2015]

Witam,
Głowię nad tym się sporo czasu i nie mogę rozwiązać, dlatego proszę o pomoc.

\(a_{0} = 2\)
\(a_{1} = 5\)
\(a_{n} = 5a_{n-1} - 6a_{n-2}\)

Doszedłem do takiej funkcji tworzącej:
\(\frac{6}{1-2z} + \frac{6}{1-3z}\)

[panb]

Funkcja tworząca wygląda trochę inaczej, a mianowicie \(A(z)= \frac{1}{1-2z}+ \frac{1}{1-3z}\) (nie wiem dlaczego ci ta szóstka została).
Wiadomo, że przy odpowiednich warunkach \(\frac{1}{1-q}= \sum_{n=0}^{ \infty }q^n\).

U nas to będzie tak:
\(A(z)= \sum_{n=0}^{\infty} (2z)^n+ \sum_{n=0}^{ \infty } (3z)^n= \sum_{n=0}^{ \infty } \left( 2^n+3^n\right)z^n \So a_n=2^n+3^n\)

Łatwo sprawdzić, że jest to szukane rozwiązanie równania rekurencyjnego.

[Karol_2015]

Dzięki, ale czy mógłbyś podać od początku jak to rozwiązać bo nie wiem gdzie robię błąd...

[panb]

Napisz jak to robiłeś, to ci wskażę, co robisz nie tak.

[Karol_2015]

Błąd jest z dużym prawdopodobieństwem przy zamianie na ułamki proste:

\(\frac{2-5z}{1-5z+z^{2}}\)

Rozumiem, że mam to zamienić na taką postać?

\(\frac{A}{z-\frac{1}{2}} + \frac{Bz+C}{z-\frac{1}{3}}\) ???

[panb]

Skąd \(1-5x+z^2\)? Chyba \(1-5z+6z^2\)?
Pamiętaj, że postać iloczynowa ma "z przodu" współczynnik a. : \(a(x-x_1)(x-x_2)\)

Poza tym źle kombinujesz z ułamkami prostymi. Jeśli w mianowniku jest wielomian pierwszego stopnia (ax+b), to w liczniku (u góry) stoi stała A. Wobec tego \(\frac{A}{x- \frac{1}{2} }+ \frac{B}{x- \frac{1}{3} }\) byłoby poprawnie.

[Robakks]

Nie rozkładasz na sumę ułamków prostych tylko na sumę szeregów geometrycznych i ich pochodnych
Rozkład mianownika powinien wyglądać tak \(a_{0}\left(1-\lambda_{1}x\right)\left(1-\lambda_{2}x\right) \cdot \ldots \cdot \left(1-\lambda_{n}x\right)\)
Jeśli już koniecznie chcesz rozkładać tak jak proponuje poprzednik to przyda ci się wzór na \(\frac{\mbox{d}^n}{\mbox{d}x^n}\left(\frac{1}{x-a}\right)\)
Tutaj akurat mianownik rozkłada się na czynniki liniowe ale w innym przypadku nie zapomnij o zespolonych
Kiedyś próbowałem znaleźć wzór na \(\frac{\mbox{d}^{n}}{\mbox{d}x^{n}}\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\)
korzystając tylko z liczb rzeczywistych ale nawet używając pochodnej iloczynu i pochodnej złożenia obliczenia się komplikują
Na pierwszy rzut oka można wywnioskować że \(\frac{\mbox{d}^{n}}{\mbox{d}x^{n}}\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\)
jest postaci \(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{A_{k}x+B_{k}}{\left(x^2+px+q\right)^{k}}\)