Wykaż, że dla każdego n prawdziwy jest wzór:
\(\sin \alpha + \sin 2 \alpha +...+ \sin n \alpha = \frac{ \cos \frac{1}{2} \alpha - \cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha }{2 \sin \frac{1}{2} \alpha }\)
Indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
kelly128
- Czasem tu bywam
- Posty: 105
- Rejestracja: 25 lip 2016, 09:06
- Lokalizacja: Kraków
- Otrzymane podziękowania: 46 razy
- Płeć:
1° dla n=1
\(sin \alpha = \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos \frac{3}{2} \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } \quad ? \\ L= sin \alpha = \frac{2 sin \frac{1}{2} \alpha \cdot sin \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } = \frac{-2 sin \alpha \cdot sin (- \frac{1}{2} \alpha ) }{2sin \frac{1}{2} \alpha } = \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos \frac{3}{2} \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha }=P\)
2° Z: \(\sin \alpha + \sin 2 \alpha + ... + \sin n \alpha = \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } \quad dla \ pewnego \ n \\ T: \sin \alpha + \sin 2 \alpha + ... + \sin n \alpha + \sin (n+1) \alpha = \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{3}{2} ) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha }\)
\(L= \sin \alpha + \sin 2 \alpha + ... + \sin n \alpha + \sin (n+1) \alpha = \\ \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } + \sin (n+1) \alpha = \\ \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } - \frac{-2 sin (n+1) \alpha \cdot sin \frac{1}{2} \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } = \\ \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } - \frac{cos (n+ \frac{3}{2}) \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } = \\ \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha - cos (n+ \frac{3}{2}) \alpha + cos (n+ \frac{1}{2} ) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } = \\ \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{3}{2} ) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } =P\)
\(sin \alpha = \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos \frac{3}{2} \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } \quad ? \\ L= sin \alpha = \frac{2 sin \frac{1}{2} \alpha \cdot sin \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } = \frac{-2 sin \alpha \cdot sin (- \frac{1}{2} \alpha ) }{2sin \frac{1}{2} \alpha } = \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos \frac{3}{2} \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha }=P\)
2° Z: \(\sin \alpha + \sin 2 \alpha + ... + \sin n \alpha = \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } \quad dla \ pewnego \ n \\ T: \sin \alpha + \sin 2 \alpha + ... + \sin n \alpha + \sin (n+1) \alpha = \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{3}{2} ) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha }\)
\(L= \sin \alpha + \sin 2 \alpha + ... + \sin n \alpha + \sin (n+1) \alpha = \\ \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } + \sin (n+1) \alpha = \\ \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } - \frac{-2 sin (n+1) \alpha \cdot sin \frac{1}{2} \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } = \\ \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } - \frac{cos (n+ \frac{3}{2}) \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } = \\ \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{1}{2}) \alpha - cos (n+ \frac{3}{2}) \alpha + cos (n+ \frac{1}{2} ) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } = \\ \frac{cos \frac{1}{2} \alpha - cos (n+ \frac{3}{2} ) \alpha }{2sin \frac{1}{2} \alpha } =P\)