Nierówności Bernoulliego

[Artegor]

Wykaż prawdziwość tzw. nierówności Bernoulliego za pomocą indukcji.

\((1+a)^n \ge 1+na\)

dla \(a>-1\)


Dopiero zaczynam zadania z indukcji, więc prosiłbym o w miarę szczegółowe wytłumaczenie.

[radagast]

Wykaż prawdziwość tzw. nierówności Bernoulliego za pomocą indukcji.

\((1+a)^n \ge 1+na\)

dla \(a>-1\)

\(1^ \circ\) dla \(n=1\): \((1+a)^1 \ge 1+a\)
OK
\(2^ \circ\) założenie indukcyjne: istnieje \(n \in N\) t. że \((1+a)^n \ge 1+na\)

dla \(a>-1\)
teza:
\((1+a)^{n+1} \ge 1+(n+1)a\)

dla \(a>-1\)
dowód:
\((1+a)^{n+1}= (1+a)^{n}(1+a) \ge ^{z zal. ind.}( 1+na)(1+a)=1+a+na+na^2 \ge 1+a+na= 1+(n+1)a\)
CBDO