Podać jawny wzór na an oraz udowodnić go indukcyjnie

[Shalassin]

Hej, bez pomocy się nie obejdzie :/
\(a_n=2a_{n-1} + a_{n-2},
dla \ a_0=0, a_1=1\)

[radagast]

Ty to na pewno dobrze przepisałeś ? Gdyby tam gdzie jest + był - byłoby dużo łatwiej, a tak, to przypomina to ciąg Fibbonacciego który jawną postać ma dość skomplikowaną: https://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_Fibonacciego (patrz wzór Bineta)

[Shalassin]

Niby ma być +, ale jak dasz radę to zrób z - a ja napiszę kobiecie notkę że nastąpiła chyba pomyłka, bo na pewno nie miało to być nic z ciągiem Fibonacciego :/

[radagast]

z - to z kolei za łatwe:
\(a_n=n\)
Dowód (indukcyjny):
\(a_0=0,a_1=1\) zatem dla n=0 i n=1 jest ok
zał ind:
istnieje \(n\) t. że \(a_n=n\) oraz \(a_{n-1}=n-1\)
teza:
\(a_{n+1}=n+1\)
Dowód:
\(a_{n+1}=2a_n-a_{n-1} =2n-(n-1)= n+1\)
CBDO

[radagast]

a jeśli jest + to trzeba chyba naśladować dowód twierdzenia Bineta, a to nie jest prosta rzecz.
No i najpierw trzeba "zgadnąć" ten wzór , a to wygląda na jeszcze trudniejsze.

[Robakks]

\(A \left(x \right)= \sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}} \\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=\sum_{n=2}^{ \infty }{2a_{n-1}x^{n}}+\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=2x\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-1}x^{n-1}}+x^2\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n-2}x^{n-2}}\\
\sum_{n=2}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}=2x\sum_{n=1}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}+x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-0-x=2x \left(\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}-0 \right)+ x^2\sum_{n=0}^{ \infty }{a_{n}x^{n}}\\
A \left( x\right)-x=2xA \left(x\right)+x^2A \left(x \right)\\
A \left( x\right) \left(1-2x-x^2 \right)=x\\
A \left( x\right)=\frac{x}{1-2x-x^2}\\
A \left( x\right)=\frac{x}{ \left(1-2x+x^2 \right)-2x^2 }\\
A \left( x\right)=\frac{x}{ \left(1- \left(1+ \sqrt{2} \right)x \right)\left(1- \left(1- \sqrt{2} \right)x \right) }\\
A \left( x\right)=\frac{\sqrt{2}}{4} \left(\frac{1}{\left(1- \left(1+ \sqrt{2} \right)x \right)}-\frac{1}{\left(1- \left(1- \sqrt{2} \right)x \right)} \right) \\
A \left( x\right)=\frac{\sqrt{2}}{4} \left( \sum_{n=0}^{ \infty }{ \left(1+\sqrt{2} \right)^{n} x^{n}}-\sum_{n=0}^{ \infty }{ \left(1-\sqrt{2} \right)^{n} x^{n}} \right) \\
a_{n}=\frac{\sqrt{2}}{4} \left(\left(1+\sqrt{2} \right)^{n}- \left(1-\sqrt{2} \right)^{n}\right) \\\)