<bezradny>Indukcja matematyczna</bezradny>

[Shalassin]

Witam

Polecenie to wykazać za pomocą indukcji matematycznej:
(mi albo wychodzą 3cie potęgi, co strasznie komplikuje, albo liczby kosmicznie wielkie, dlatego jestem zmuszony poprosić o pomoc

\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} )\)

Dzięki za wszelkie rozwiązania oraz za próby pomocy

[radagast]

\(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} )\)

dla \(n=1\)
\(\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3} ) \iff \frac{1}{6}= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}- \frac{1}{6} \right) \iff \frac{1}{6} = \frac{1}{6}\) ok
zał ind :
istnieje n: \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} )\)
teza:
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+2)(n+3)}\right)\)
Dowód
\(\displaystyle L= \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\\
\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\
= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right) =\\
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{n+3}{(n+1)(n+2)(n+3)} + \frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right)=\\
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{n+1}{(n+1)(n+2)(n+3)} \right)\\
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+2)(n+3)} \right) =P\)
CBDO

[Shalassin]

WIEEEEEELKIE DZIĘKI, szkoda że Polska przegrała ale mam zadanie, Wielbie i dziękuje