Funkcja tworząca, a wzór jawny.

[Matematyk_Hais]

Witam,
Mam takie zadanie:
Korzystając z funkcji tworzącej znajdź jawny wzór na n-ty wyraz ciągu \(\left\{an \right\}\) n >= 0, określonego rekurencyjnie: a0 = 2, an = 2an-1 + 3 dla n >= 1.

Ogólnie według jakiego schemat robic zadania tego typu? Bardzo prosze o pomoc.
Kombinowalem cos takiego:
a0 = 2
an = 2an-1 +3
A(x) = 2 + (2a0 +3)x + (2a1 + 3)x^2 + ... + (2an-1 + 3)x^n
Nie wiem co dalej ;/

[panb]

Najpierw budujemy funkcję tworzącą:
\(A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_nx^n =a_0+ \sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=2+ \sum_{n=1}^{\infty} (2a_{n-1}+3)x^n=2+ 2\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^n+3 \sum_{n=1}^{\infty}x^n=\\
=2+2x \sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^{n-1} +3 \sum_{n=1}^{\infty}x^n=2x \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n +2+ \frac{3x}{1-x}\)
Zatem \(A(x)=2xA(x)+ \frac{2+x}{1-x} \So A(x)-2A(x)=\frac{2+x}{1-x} \So A(x)(1-2x)=\frac{2+x}{1-x}\), czyli \[A(x)= \frac{2+x}{(1-x)(1-2x)}\] Rozkładamy A(x) na ułamki proste: \(\frac{2+x}{(1-x)(1-2x)}= \frac{5}{1-2x}- \frac{3}{1-x}\)
\(\frac{5}{1-2x}=5 \cdot \frac{1}{1-2x}=5 \sum_{n=0}^{\infty}(2x)^n\qquad;\qquad \frac{3}{1-x}=3 \cdot \frac{1}{1-x}=3 \sum_{n=0}^{\infty}x^n\), zatem \[A(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \left(5 \cdot 2^n-3 \right) x^n \So a_n=5 \cdot 2^n-3\] łatwo sprawdzić, że wzór ten daje kolejne wyrazy ciągu podanego rekurencyjnie w zadaniu.
W sumie ciąg jest mniej ważny, liczy się metoda postępowania.