Działania na zbiorach

[dk9090]

W grupie 146 osób 46 zna język angielski, 35 francuski i część rosyjski.
Wiemy również, że 34 zna rosyjski a nie zna francuskiego, 28 zna angielski i rosyjski, 21 zna angielski i francuski, 9 zna te trzy języki.
Ile osób z tej grupy nie zna żadnego z tych trzech języków?

Proszę o pomoc.

[kukise]

Najlepiej narysować zbiory Vienna (czyli koła) i oznaczmy:
\(A\) - osoby znające język angielski, \(|A|=46\)
\(F\) - osoby znające język francuski, \(|F|=35\)
\(R\) - osoby znające język rosyjski.

Co wiemy:
(I) 9 zna te trzy języki \(|A \cap F \cap R|=9\)
(II) 21 zna angielski i francuski \(|A \cap F|=21\)
(III) 28 zna angielski i rosyjski \(|A \cap R|=28\)
(IV) 34 zna rosyjski a nie zna francuskiego \(|R \bez F|=34\)

Analiza: (I) i (II) i \((A \cap F\cap R) \subset (A \cap F)\):
\(|(A \cap F) \bez R|=21-9=12\)

(I) i (III) i \((A \cap F\cap R) \subset (A \cap R)\):
\(|(A \cap R) \bez F|=28-9=19\)

Teraz sam angielski znają:
(V) \(|A \bez \left[ (A \cap F) \bez R) \cup (A \cap R)\right] |=46-12-28=6\)

Zbiory: (V) i (IV) i F są rozłączne, ale ich suma daje \(A \cup F \cup R\)
Tak, więc ostatecznie: \(|A \cup F \cup R|=6+35+34=75\)
\(|\Omega \bez (A \cup F \cup R)|=146-75=71\)

Odp: 71 osób nie zna żadnego z trzech języków.