Mam takie zadanie:
Definiujemy ciąg an przyjmujacy a0 = 3, a1 = 3 oraz an = a(n-1) + 2 a(n-2) ------- Z tym ze tutaj n, n-1 itp. to sa idenksy dolne
c) Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n \(\ge\) 2, an \(\le\) 2^(n+1) +1
Nie wiem za bardzo jak to zrobic
Indukcja Matematyczna - dowod
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Matematyk_Hais
- Rozkręcam się
- Posty: 50
- Rejestracja: 31 mar 2015, 14:49
- Podziękowania: 13 razy
- Otrzymane podziękowania: 6 razy
- Płeć:
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Policz kilka kolejnych wyrazów ciągu.
\(a_0=3=2^{0+1}+1\\a_1=3=2^{1+1}-1\\a_2=9=2^{2+1}+1\\a_3=15=2^{3+1}-1\\a_4=33=2^{4+1}+1\\a_5=63=2^6-1\\a_6=2^7+1\\...\)
Ogólnie jest
\(a_n= \begin{cases} 2^{n+1}+1\;\;\;dla\;\;\;n\;parzystych\\2^{n+1}-1\;\;\;\;dla\;\;\;n\;nieparzystych\end{cases}\)
To kończy dowód nierówności:
Dla n parzystych jest równość
\(a_n=2^{n+1}+1\)
Dla n nieparzystych jest spełniona nierówność:
\(2^{n+1}-1<2^{n+1}+1\)
\(a_0=3=2^{0+1}+1\\a_1=3=2^{1+1}-1\\a_2=9=2^{2+1}+1\\a_3=15=2^{3+1}-1\\a_4=33=2^{4+1}+1\\a_5=63=2^6-1\\a_6=2^7+1\\...\)
Ogólnie jest
\(a_n= \begin{cases} 2^{n+1}+1\;\;\;dla\;\;\;n\;parzystych\\2^{n+1}-1\;\;\;\;dla\;\;\;n\;nieparzystych\end{cases}\)
To kończy dowód nierówności:
Dla n parzystych jest równość
\(a_n=2^{n+1}+1\)
Dla n nieparzystych jest spełniona nierówność:
\(2^{n+1}-1<2^{n+1}+1\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.