Dowód indukcyjny

[djarta]

Udowodnij indukcyjnie, że \(\forall n \in \nn\) \(\sum_{k=1}^{n}\) \(2*3^k-1 = 3^n-1\)

(k-1) jest w potędze

[radagast]

Udowodnij indukcyjnie, że \(\forall n \in \nn\) \(\sum_{k=1}^{n}\) \(2*3^k-1 = 3^n-1\)

(k-1) jest w potędze

\(\displaystyle\forall n \in \nn :\sum_{k=1}^{n}\) \(2*3^{k-1} = 3^n-1\)
\(1^ \circ\)
dla \(n=1\)
\(\displaystyle L=\sum_{k=1}^{1}2*3^{k-1} = 2*3^{1-1}=2*3^0=2=3^1-1=P\)
\(2^ \circ\)
założenie indukcyjne
\(\displaystyle \exists n \in \nn : \sum_{k=1}^{n}\) \(2*3^{k-1} = 3^n-1\)
pokażemy , że
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\) \(2*3^{k-1} = 3^{n+1}-1\)
Dowód:
\(\displaystyle L= \sum_{k=1}^{n+1} 2 \cdot 3^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} 2 \cdot3^{k-1} +2*3^{n}= 3^n-1 +2*3^{n}=3 \cdot 3^n-1=3^{n+1}-1=P\)

CBDO