Kombinatoryka i diagramy Venna

[Rutek194]

Witajcie,

Chciałbym żebyście sprawdzili czy dobrze rozwiązuje zadania i tam gdzie jest to błędne pokazali jak powinno to wyglądać.

1. Proszę wykorzystać diagram Venna do rozwiązania następującego problemu:
Bufet WSB zakupił ser S, szynkę SZ i kurczaka K do kanapek. Przygotowano:
- 5 kanapek z serem S i szynką SZ, ale bez kurczaka K
- 7 kanapek z przynajmniej serem S i kurczakiem K
- 2 kanapki tylko z serem S
- łącznie 18 kanapek z kurczakiem K, w tym 7 wyłącznie z kurczakiem K
- 10 kanapek z szynką SZ i przynajmniej jednym innym dodatkiem S lub K

(a) Ile kanapek ma dokładnie dwa dodatki?
(b) Ile kanapek przygotowano, jeżeli wiadomo, że 3 kanapki mają tylko szynkę SZ?

Tak wygląda mój rysunek: http://sketchtoy.com/66556238
A odpowiedzi wyszły mi:
a) 15
b) Jako, że zdania zaczynające się od myślników nigdzie nie dały mi samych szynek. A zadania sugeruje obecność trzech takich kanapek, więc je dodałem na potrzeby tego podpunktu, aczkolwiek nie mam pewności czy mi nie powinno to wyjść już wcześniej?

2. W kolejce przed Dziekanatem czeka 7 studentów. Ile jest:
(a) możliwości utworzenia przez nich kolejki?
(b) możliwości utworzenia przez nich kolejki, jeżeli student Wpychalski zawsze jest pierwszy a student Niepospieszny zawsze ostatni?
(c) złożenia przez nich w dziekanacie w sumie 6 podań, jeżeli każdy student może złożyć 0, 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 podań.
(d) wysłania 3 z nich do bufetu po kawę i utworzenia przed BUFETEM nowej kolejki?

Wskazówka: Wystarczą wyniki w postaci \(a^b \cdot {c \choose d}, e \cdot f!\)

Moje odpowiedzi:
a) 7! bo korzystamy ze zwykłej permutacji
b) 5! bo pierwszego ustawiamy zawsze na jeden sposób, ostatniego zawsze na 1 a tych w środku mamy 5! możliwości
c i d nie wiem, znaczy domyślam się, że korzystamy z wariacji bez powtórzeń (??) ale nie mam pewności jak to zrobić dobrze.

[panb]

W zadaniu 1 wyszedł mi taki sam rozkład i odp do b) : 28
W zadaniu 2d będzie \(7 \cdot 6 \cdot 5\) możliwości tzn. \({7\choose3}\cdot3!\)
Podpunkt c) mi się rozłazi - nie mam pomysłu.

[panb]

Mam pewien pomysł.
Po pierwsze zauważmy, że co najmniej jeden student musi złożyć 0 podań. Pozostali składają od 1 do 6 podań (tak jakby rzucali kostką). Rozpatrzmy przypadki:
- dokładnie jeden student składa 0 podań i w sześciu rzutach kostką suma 6: \({7\choose1}\cdot1\)
- dokładnie dwóch studentów składa 0 podań i w pięciu rzutach kostką suma 6: \({7\choose2}\cdot5\)
- dokładnie trzech studentów składa 0 podań i w czterech rzutach kostką suma 6: \({7\choose3}\cdot10\)
- dokładnie czterech studentów składa 0 podań i w trzech rzutach kostką suma 6: \({7\choose4}\cdot10\)
- dokładnie pięciu studentów składa 0 podań i w dwóch rzutach kostką suma 6: \({7\choose5}\cdot5\)
- dokładnie sześciu studentów składa 0 podań i w jednym rzucie kostką suma 6: \({7\choose6}\cdot1\)
Suma: 924