nie wprost

[gollum]

wykazać następujące twierdzenie korzystając z metody nie wprost. Liczba \(log_2 3\) jest niewymierna.

BARDZO PROSZE O POMOC.

[lambda]

Dowód nie wprost:
Hipoteza: \(log_23=w\) gdzie \(w \in Q\) oraz \(w= \frac{p}{q}\) gdzie \(p,q \in Z\)

\(log_23=w \iff 2^w=3 \iff 2^ \frac{p}{q}=3 \iff 2^p=3^q \to sprzeczność\)

[radagast]

Dowód nie wprost:
Hipoteza: \(log_23=w\) gdzie \(w \in Q\) oraz \(w= \frac{p}{q}\) gdzie \(p,q \in Z\)

\(log_23=w \iff 2^w=3 \iff 2^ \frac{p}{q}=3 \iff 2^p=3^q \to sprzeczność\)

ja jeszcze dopowiem jaka to jest sprzeczność:
w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(2^p\) występuję wyłącznie dwójki, w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(3^p\) występuję wyłącznie trójki. To właśnie daje sprzeczność z jednoznacznością rozkładu liczby na czynniki pierwsze.
Sprzeczności nie ma wyłącznie wtedy gdy \(p=q=0\) ale wtedy .... ( i tu dopowiedz sobie sam )