dowód niewymierności

[sona]

Udowodnić niewymierność liczby \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\).

[radagast]

załóżmy, że \(\sqrt{2}+\sqrt{3} \in Q \So \left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) ^2 \in Q \So 5+2 \sqrt{6} \in Q \So 2 \sqrt{6} \in Q \So \sqrt{6} \in Q \So \\
\sqrt{6}= \frac{p}{q} \So 6q^2=p^2\)
liczba dwójek występujących w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(p^2\) jest parzysta (bo to pełen kwadrat)
liczba dwójek występujących w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(q^2\) jest parzysta (bo to pełen kwadrat)
liczba dwójek występujących w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby \(6q^2\) jest nieparzysta (bo dochodzi dwójka z rozkładu szóstki)
No to mamy sprzeczność z jednoznacznością rozkładu liczby na czynniki pierwsze .
Zatem założenie o wymierności liczby \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) było fałszywe .

[Panko]

Jeżeli znasz tw o pierwiastkach wymiernych wielomianów o współczynnikach całkowitych ( klasa 2 LO ) to mozna np tak

weźmy wielomian \(W(x)=x^4-10x^2+1\)
sprawdzamy fizycznie posługując się tym tw , że żadna z przypuszczalnych liczb wymiernych NIE jest pierwiastkiem tego wielomianu .
Ale \(W(x)= ( x- ( \sqrt{2}+ \sqrt{3} ) ) \cdot ( x+( \sqrt{2}+ \sqrt{3} ) ) \cdot( x- ( \sqrt{2}- \sqrt{3} ) ) \cdot ( x- ( \sqrt{3}- \sqrt{2} ) )\) .
Czyli np liczba \(x_0= \sqrt{2}+ \sqrt{3}\) jest jego pierwiastkiem .
Stąd \(x_0= \sqrt{2}+ \sqrt{3}\) jest NIEwymierna.