Indukcja matematyczna, silnia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Indukcja matematyczna, silnia
Mam problem z tym zadaniem: (2n)!<(2^n)^n. Nie wiem jak go rozwiązać. Mógłby mi ktoś pomóc?
-
sebnorth
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
dla \(n = 1,2,3\) to nie działa ale sprawdź
dla \(n \geq 4\):
krok początkowy \(n = 4: L = 8! = 40320 < 2^{4^2}\)
krok indukcyjny, \(n \geq 4\):
\((2(n+1))! = (2n)!\cdot (2n+1)\cdot (2n+2) < (\ast)\)
\(2n+1 < 4n, 2n+2 < 4n\)
\((\ast) (2n)! (2n+1)\cdot (2n+2) <_{zał. ind.} 2^{n^2} \cdot 16n^2 <_{\ast \ast} 2^{n^2} \cdot 2^{2n + 1} = 2^{(n+1)^2}\)
\((\ast \ast)\) osobno, też indukcyjnie można pokazać: \(n^2 < 2^{2n-3}\) dla \(n \geq 4\)
dla \(n \geq 4\):
krok początkowy \(n = 4: L = 8! = 40320 < 2^{4^2}\)
krok indukcyjny, \(n \geq 4\):
\((2(n+1))! = (2n)!\cdot (2n+1)\cdot (2n+2) < (\ast)\)
\(2n+1 < 4n, 2n+2 < 4n\)
\((\ast) (2n)! (2n+1)\cdot (2n+2) <_{zał. ind.} 2^{n^2} \cdot 16n^2 <_{\ast \ast} 2^{n^2} \cdot 2^{2n + 1} = 2^{(n+1)^2}\)
\((\ast \ast)\) osobno, też indukcyjnie można pokazać: \(n^2 < 2^{2n-3}\) dla \(n \geq 4\)