Zasada indukcji zupełnej - silnia

[Karol_2015]

Witam, mam problem z udowodnieniem następującego równania:

\(\forall n \ge 4\ \ \ \ \ k!>2^{k}\)

Proszę o pomoc.

[radagast]

\(1^ \circ\)
dla \(k=4\):
\(4!=24>16=2^4\) OK
\(2^ \circ\)
zał ind:
\(\exists n \ge 4\ \ \ \ \ k!>2^{k}\)
teza
\((k+1)!>2^{k+1}\)

dowód
\((k+1)!=k!(k+1)>2^k(k+1)>2^k \cdot 2=2^{k+1} \So (k+1)!>2^{k+1}\)
CBDO

[Karol_2015]

Nie rozumiem dowodu...

[radagast]

dowód zawiera 4 przejścia (dwie równości i dwie nierówności). Której nie rozumiesz ?
A jeśli nie rozumiesz samej indukcji, to już grubsza sprawa. Bez udziału własnego się nie obejdzie .

[Karol_2015]

Nie nie, radagast, ja prawie wszystko rozumiem, ale dochodzę do etapu \(k!(k+1)>2k(k+1)\) wiem, skąd się wzięło, co z \(2k(k+1)\)?

[radagast]

Nie nie, radagast, ja prawie wszystko rozumiem, ale dochodzę do etapu \(k!(k+1)>2k(k+1)\) wiem, skąd się wzięło, co z \(2k(k+1)\)?

\(k!(k+1)>2^k(k+1)\)
Jeśli masz na myśli ten etap to jest to wprost z założenia indukcyjnego (pomnóż je przez \((k+1)\) )

[Karol_2015]

Tak tak tak, ale dalej jest \(2k(k+1)>2k⋅2=2^{k+1}\) jak z tego ma wyjść efekt końcowy? \((k+1)!>2^{k+1}\)

[radagast]

Tak tak tak, ale dalej jest \(2k(k+1)>2k⋅2=2^{k+1}\) jak z tego ma wyjść efekt końcowy? \((k+1)!>2^{k+1}\)

Masz na myśli :
\(2^k(k+1)>2^k⋅2=2^{k+1}\) ,( bo tak u mnie jest napisane)
Przecież \(k+1>2\), prawda? I dalej
\(2^k \cdot 2=2^{k+1}\), prawda?
No i na koniec: relacje > oraz = są przechodnie . Zatem mamy co trzeba ("efekt końcowy")

[Karol_2015]

Dziękuję bardzo