Wyznacz funkcję tworzącą ciągu \(f(n)=n^2\).
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Funkcja tworząca
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Robakks
- Czasem tu bywam
- Posty: 149
- Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 13 razy
- Płeć:
Zapisz swój wielomian w postaci Newtona
(pamiętasz interpolację wielomianową oprócz tej Lagrange jest też Newtona z różnicami dzielonymi)
Gdy już będziesz miała swój wielomian w postaci Newtona zróżniczkuj szereg geometryczny (dwa razy starczy)
-1 1 (4-1)/(-2-(-1))=-3 (-5-(-3))/(-3-(-1))=1
-2 4 (9-4)/(-3-(-2))=-5
-3 9
\(n^2=1-3\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\\
\frac{1}{1-x}-3\left(\frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2}\left(\frac{1}{1-x}\right)\right)+\frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2}\left(\frac{1}{1-x}\right)\\
\frac{1}{1-x}-\frac{3}{\left(1-x\right)^2}+\frac{2}{\left(1-x\right)^3}\\
\frac{1-2x+x^2-3+3x+2}{\left(1-x\right)^3}=\frac{x+x^2}{\left(1-x\right)^3}\\\)
Można też ułożyć równanie rekurencyjne
\(f_{0}=0\\f_{1}=1\\f_{2}=4\\f_{n}=3f_{n-1}-3f_{n-2}+f_{n-3}\)
(pamiętasz interpolację wielomianową oprócz tej Lagrange jest też Newtona z różnicami dzielonymi)
Gdy już będziesz miała swój wielomian w postaci Newtona zróżniczkuj szereg geometryczny (dwa razy starczy)
-1 1 (4-1)/(-2-(-1))=-3 (-5-(-3))/(-3-(-1))=1
-2 4 (9-4)/(-3-(-2))=-5
-3 9
\(n^2=1-3\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\\
\frac{1}{1-x}-3\left(\frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2}\left(\frac{1}{1-x}\right)\right)+\frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2}\left(\frac{1}{1-x}\right)\\
\frac{1}{1-x}-\frac{3}{\left(1-x\right)^2}+\frac{2}{\left(1-x\right)^3}\\
\frac{1-2x+x^2-3+3x+2}{\left(1-x\right)^3}=\frac{x+x^2}{\left(1-x\right)^3}\\\)
Można też ułożyć równanie rekurencyjne
\(f_{0}=0\\f_{1}=1\\f_{2}=4\\f_{n}=3f_{n-1}-3f_{n-2}+f_{n-3}\)