Najmniejsza liczba

[gollum]

Najmniejsza liczba \(a \in Z^+_{210}\)dla której istnieje element \(a^{-1}mod \ 210\)

[gollum]

wie ktos jak to rozwiązać?

[panb]

Szukamy liczb \(a,a^{-1} \in Z^{+}_{210}= \{0,1,2,3,\ldots,209\}\) takiej, że \(a \circ a^{-1}=1 (\mod210)\)
\(a \circ a^{-1}=1 (\mod 210) \iff a \circ a^{-1}=k\ \cdot 210+1\)
\(1 \cdot 210+1=211=1 \cdot 211\), ale \(211 \notin Z^{+}_{210}\)
\(2 \cdot 210+1=421=1 \cdot 421\), ale \(421 \notin Z^{+}_{210}\)
\(3 \cdot 210+1=631=1 \circ 631\), ale \(631 \notin Z^{+}_{210}\)
\(4 \cdot 210 + 1=841=29 \cdot 29\), więc 29 ma element odwrotny (równy 29). Czy nie ma mniejszego?
Otóż jest, a mianowicie
\(6 \cdot 210 + 1=1261=13 \cdot 91\), więc 13 ma element odwrotny (równy 91). Czy nie ma mniejszego?
Przypuśćmy, że jest liczba n<13 taka, że \(n \cdot X=k \cdot 210 + 1,\,\,\, i \,\,\,X<210\)
Zatem \(\frac{k \cdot 210 + 1}{n}<210\) i jest liczbą naturalną przy czym n<13.
Łatwo sprawdzić (nawet wstawiając za n kolejne liczby - jest ich w końcu tylko 12), że nie ma takiej liczby n.
Zatem, ponieważ \(13\in Z^{+}_{210} \wedge 97 \in Z^{+}_{210} \wedge 13 \cdot 97=1 (\mod 210)\), więc

Odpowiedź: Najmniejszą liczbą o tej własności jest liczba 13.

[gollum]

Najmniejsza liczba \(a \in Z^+_{210}\)dla której istnieje element \(a^{-1}mod \ 210\)

a czy jeśli zadanie zmienimy na: Najmniejsza liczba \(a \in Z^+_{210}/\) { 1 } dla której istnieje element \(a^{-1}mod \ 210\) to czy będzie to inna liczba?
bo w tej kombinacji mi wychodzi że 11.

[panb]

Musiałabyś przypomnieć co oznacza zapis \(Z^{+}_{210}/ \left\{ 1\right\}\).
Jeśli załapałaś o co chodzi w tamtym zadaniu, to pewnie masz rację.

[gollum]

\(Z^{+}_{210} \bez \left\{ 1\right\}\). zły slesz zrobiłam